[論文レビュー] D-manifolds, d-orbifolds and derived differential geometry: a detailed summary

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 44被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、仮想基本クラスを持つモジュライ空間を扱うために、古典的多様体とオルビフォールドを拡張する、導来微分幾何学における新しい枠組みとしてd多様体とdオルビフォールドを導入する。境界および角を持つd多様体の2カテゴリカル構造を確立し、複素代数的およびシンプレクティック幾何的構造（例：完全な障害理論、ポリフォルド）からd多様体への切り捨て函手を提供し、Gromov–WittenやDonaldson–Thomasなどの枚挙的不変量がこの導来的設定において再定式化可能であることを示し、新たな証明と単純化を可能にする。

ABSTRACT

This is a long summary of the author's book "D-manifolds and d-orbifolds: a theory of derived differential geometry", available at http://people.maths.ox.ac.uk/~joyce/dmanifolds.html . A shorter survey paper on the book, focussing on d-manifolds without boundary, is arXiv:1206.4207, and readers just wanting a general overview are advised to start there. We introduce a 2-category dMan of "d-manifolds", new geometric objects which are 'derived' smooth manifolds, in the sense of the 'derived algebraic geometry' of Toen and Lurie. They are a 2-category truncation of Spivak's 'derived manifolds' (see arXiv:0810.5174, arXiv:1212.1153). The category of manifolds Man embeds in dMan as a full (2-)subcategory. We also define 2-categories dMan^b,dMan^c of "d-manifolds with boundary" and "d-manifolds with corners", and orbifold versions of these dOrb,dOrb^b,dOrb^c, "d-orbifolds". Much of differential geometry extends very nicely to d-manifolds and d-orbifolds -- immersions, submersions, submanifolds, transverse fibre products, orientations, orbifold strata, bordism, etc. Compact oriented d-manifolds and d-orbifolds have virtual classes. There are truncation functors to d-manifolds and d-orbifolds from essentially every geometric structure on moduli spaces used in enumerative invariant problems in differential geometry or complex algebraic geometry, including Fredholm sections of Banach vector bundles over Banach manifolds, the "Kuranishi spaces" of Fukaya, Oh, Ohta and Ono and the "polyfolds" of Hofer, Wysocki and Zehnder in symplectic geometry, and C-schemes with perfect obstruction theories in algebraic geometry. Thus, results in the literature imply that many important classes of moduli spaces are d-manifolds or d-orbifolds, including moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. D-manifolds and d-orbifolds will have applications in symplectic geometry, and elsewhere.

研究の動機と目的

• 導来滑らか多様体（d多様体）およびオルビフォールド（dオルビフォールド）の2カテゴリカルな枠組みを、境界および角を含む場合も含めて開発すること。
• 滑らか多様体やオルビフォールドへの一般化として、埋め込み、部分多様体、横断的 fibre 積、向きなどの古典的微分幾何の概念をd多様体の導来的設定に拡張すること。
• Gromov–Witten、Donaldson–Thomas、Seiberg–Wittenなどの既存の枚挙的不変量が、d多様体上の仮想クラスから生じることを示し、それらを統一的かつ単純化すること。
• Deligne–Mumford $C^\infty$-スタック、ポリフォルド、Kuranishi空間などの複素代数的およびシンプレクティック幾何的構造から、d多様体およびdオルビフォールドへの切り捨て函手を確立すること。
• 境界および角の関手的性質を支持する導来微分幾何学の体系的基盤を提供し、バードリズム理論および相対的不変量に応用可能なものとする。

提案手法

• 滑らか多様体の導来的強化として、$C^\infty$-環と導来スキームを用いて、d多様体の2カテゴリカル構造 ${\mathop{\bf dMan}}$ を構成する。
• ベクトルバンドル上の滑らか関数の零点集合として局所的に定義されるd多様体を定義し、2次元射はホモトピーとして与える。
• 境界および角を持つd多様体を2カテゴリカル構造 ${\mathop{\bf dMan^c}}$ を用いて定義し、角関手および横断的写像下での関手的性質を導入する。
• d多様体上の仮想ベクトルバンドルおよび向きの理論を構築し、仮想基本クラスの構成を可能にする。
• Deligne–Mumford $C^\infty$-スタック、準滑らか導来 $\mathbb{C}$-スキーム、Spivakの導来多様体からd多様体への切り捨て函手を確立する。
• モジュライ空間の仮想サイクルがd多様体構造の切り捨てとして自然に生じることを示し、枚挙的幾何における枠組みを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界および角を持つ滑らか多様体やオルビフォールドを一般化する2カテゴリカルな枠組みとして、導来微分幾何学をどのように形式化できるか？
• RQ2 横断的 fibre 積、埋め込み、部分多様体などの微分幾何の標準的構成が、d多様体およびdオルビフォールドへと拡張可能か？
• RQ3 シンプレクティック幾何および代数幾何における既存の枚挙的不変量（例：Gromov–Witten、Donaldson–Thomas）が、d多様体上の仮想クラスを通じて統一的に記述可能か？
• RQ4 完全な障害理論、ポリフォルド、Kuranishi空間などの他の導来的幾何的構造とd多様体との関係は何か？
• RQ5 角付きd多様体における境界および角の関手的性質は、バードリズム理論および相対的不変量の証明を単純化するために利用可能か？

主な発見

• d多様体の2カテゴリカル構造 ${\mathop{\bf dMan}}$ は、滑らか多様体の古典的圏を完全に埋め込み、すべての標準的微分幾何的構造を保存する。
• 境界および角を持つd多様体は、関手的な角関手を備え、適切に定義された仮想基本クラスを持つ。
• Deligne–Mumford $C^\infty$-スタック、準滑らか導来 $\mathbb{C}$-スキーム、Spivakの導来多様体からd多様体への切り捨て函手が存在する。
• シンプレクティック幾何および代数幾何における標準的な枚挙的不変量（例：Gromov–Witten、Donaldson–Thomas、Lagrangian Floer不変量）は、すべてdオルビフォールド上の仮想クラスとして生じる。
• 境界および角を持つモジュライ空間に対するこの枠組みにより、既存の証明が単純化され、導来微分幾何学における新たな結果が得られる。
• 向き付け可能でコンパクトなd多様体およびdオルビフォールドは、標準的な仮想基本クラスを備え、導来バードリズム理論を支える。