[論文レビュー] Distributed Approximation of Maximum Independent Set and Maximum Matching

Reuven Bar-Yehuda, Keren Censor-Hillel+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、CONGESTモデルにおける最大独立集合（MaxIS）および最大重みマッチング（MWM）の近似のための効率的な分散アルゴリズムを提示する。Δ-近似の決定的アルゴリズムを、グラフ彩色を用いてO(Δ + log* n)ラウンドで実行する。また、(2+ε)-近似のMWMに対しては、O(log Δ / log log Δ)ラウンドのランダム化アルゴリズムを提案し、Δ依存性に関して最適なラウンド複雑性を達成する。

ABSTRACT

We present a simple distributed $Δ$-approximation algorithm for maximum weight independent set (MaxIS) in the $\mathsf{CONGEST}$ model which completes in $O( exttt{MIS}(G)\cdot \log W)$ rounds, where $Δ$ is the maximum degree, $ exttt{MIS}(G)$ is the number of rounds needed to compute a maximal independent set (MIS) on $G$, and $W$ is the maximum weight of a node. %Whether our algorithm is randomized or deterministic depends on the exttt{MIS} algorithm used as a black-box. Plugging in the best known algorithm for MIS gives a randomized solution in $O(\log n \log W)$ rounds, where $n$ is the number of nodes. We also present a deterministic $O(Δ+\log^* n)$-round algorithm based on coloring. We then show how to use our MaxIS approximation algorithms to compute a $2$-approximation for maximum weight matching without incurring any additional round penalty in the $\mathsf{CONGEST}$ model. We use a known reduction for simulating algorithms on the line graph while incurring congestion, but we show our algorithm is part of a broad family of \emph{local aggregation algorithms} for which we describe a mechanism that allows the simulation to run in the $\mathsf{CONGEST}$ model without an additional overhead. Next, we show that for maximum weight matching, relaxing the approximation factor to ($2+\varepsilon$) allows us to devise a distributed algorithm requiring $O(\frac{\log Δ}{\log\logΔ})$ rounds for any constant $\varepsilon>0$. For the unweighted case, we can even obtain a $(1+\varepsilon)$-approximation in this number of rounds. These algorithms are the first to achieve the provably optimal round complexity with respect to dependency on $Δ$.

研究の動機と目的

• 大規模なネットワークにおける最大独立集合および最大重みマッチングの近似のための高速な分散アルゴリズムの設計。
• CONGESTモデルにおいて、線グラフのアルゴリズムをシミュレートする際に追加の通信過負荷を発生させずに実現する挑戦への対処。
• 重み付きマッチング近似において、最大次数Δに関して、証明可能な最適なラウンド複雑性の達成。
• 強力な近似保証と低通信コストを備えた決定的およびランダム化ソリューションの提供。

提案手法

• 局所比の技法を分散環境に適応し、反復的に最大独立集合（MIS）を計算し、並列に重みを削減する。
• 重みに基づいてノードをlog W層にグループ化し、各反復で最上位層の重みを削減することで、O(MIS(G) · log W)ラウンドの複雑性を達成する。
• Δ+1彩色を用いてMISに基づく重み削減を決定的にシミュレートし、ランダム化MISアルゴリズムに依存せずにO(Δ + log* n)ラウンドを達成する。
• CONGESTモデルで通常のO(Δ)通信過負荷を回避する、線グラフアルゴリズムのための新規シミュレーション機構を採用する。
• ランダム化された二部グラフ変換と反復的マッチングを用いて、二部グラフから一般の非重み付きグラフへの結果の一般化を実現する。
• チェルノフ不等式を用いた確率的解析により、ランダムなノード分割と提案戦略の下で高確率の近似保証を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CONGESTモデルにおいて、低ラウンド複雑性で最大重み独立集合の分散Δ-近似を達成できるか？
• RQ2 CONGESTモデルで線グラフのシミュレーションを、乗法的O(Δ)の過負荷を伴わずエミュレートする方法は何か？
• RQ3 CONGESTモデルにおける(2+ε)-近似最大重みマッチングの最適なラウンド複雑性は何か？
• RQ4 非重み付きマッチングの(1+ε)-近似は、O(log Δ / log log Δ)ラウンドで達成可能か？
• RQ5 一般グラフにおける高精度なマッチング近似を達成するにあたり、ランダム化ノード分割の影響は何か？

主な発見

• 最大重み独立集合の決定的Δ-近似アルゴリズムは、グラフ彩色を用いてO(Δ + log* n)ラウンドで実行される。
• MaxISのランダム化Δ-近似は、O(MIS(G) · log W)ラウンドで完了し、実用的にはMISE(G)がO(log n)に有界である。
• 線グラフアルゴリズムを効率的にシミュレートすることで、追加のラウンドコストなしに最大重みマッチングの2-近似を達成する。
• (2+ε)-近似最大重みマッチングに対しては、O(log Δ / log log Δ)ラウンドで実行され、理論的下界と対数的要因を除いて一致する。
• 非重み付きマッチングの(1+ε)-近似は、O(log Δ / log log Δ)ラウンドで達成可能であり、Δに関して証明可能な最適なラウンド複雑性を持つ最初のアルゴリズムである。
• 線グラフアルゴリズムのシミュレーション機構は、O(Δ)の通信過負荷を回避し、効率的な分散マッチング近似を可能にする。