[論文レビュー] DNF Sparsification and a Faster Deterministic Counting Algorithm

Parikshit Gopala, Raghu Meka+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、DNF式のための新しいスパarsification技法を導入し、幅$w$の任意のDNFが、項数が$(w\log(1/\varepsilon))^{O(w)}$に制限される幅$w$のDNFによって$\varepsilon$-近似可能であることを証明する。この結果、$\varepsilon = 1/\mathrm{poly}(\log n)$のとき、$n^{\tilde{O}(\log\log n)}$時間で実行される、より高速な決定的アルゴリズムが得られ、従来の$n^{\exp(O(\sqrt{\log\log n}))}$の境界を著しく改善する。

ABSTRACT

Given a DNF formula on n variables, the two natural size measures are the number of terms or size s(f), and the maximum width of a term w(f). It is folklore that short DNF formulas can be made narrow. We prove a converse, showing that narrow formulas can be sparsified. More precisely, any width w DNF irrespective of its size can be $ε$-approximated by a width $w$ DNF with at most $(w\log(1/ε))^{O(w)}$ terms. We combine our sparsification result with the work of Luby and Velikovic to give a faster deterministic algorithm for approximately counting the number of satisfying solutions to a DNF. Given a formula on n variables with poly(n) terms, we give a deterministic $n^{ ilde{O}(\log \log(n))}$ time algorithm that computes an additive $ε$ approximation to the fraction of satisfying assignments of f for $ε= 1/\poly(\log n)$. The previous best result due to Luby and Velickovic from nearly two decades ago had a run-time of $n^{\exp(O(\sqrt{\log \log n}))}$.

研究の動機と目的

• 幅と近似品質を保ちながらDNF式をスパarsifyする手法の開発。
• DNF式の満たす割合を近似する決定的アルゴリズムの実行時間を改善すること。
• 幅$w$のDNFのみを用いて、$\varepsilon$-sandwiching近似器の存在を確立すること。この近似器のサイズは$w$と$\varepsilon$にのみ依存する。
• 幅が有界なDNFの文脈において、Friedgutのジュンタ定理のより強い代替案を提供すること。

提案手法

• 著者らは、Rossman (2010) が導入した準スワンフラワー（quasi-sunflowers）の概念に基づくスパarsification手順を用いて、近似DNFを構築する。
• 任意の幅$w$のDNFが、サイズが$(w\log(1/\varepsilon))^{O(w)}$未満である幅$w$のDNFとしての$\varepsilon$-sandwiching近似器を有することを証明する。
• この構成は、項の数が非常に少ない数に制限されるように、DNFの構造的性質を利用している。
• このスパarsification結果を、LubyとVelikovic (1991, 1996) の枠組みと組み合わせることで、より高速な決定的カウンティングアルゴリズムを設計する。
• アルゴリズムは、$\varepsilon = 1/\mathrm{poly}(\log n)$のとき、$n^{\tilde{O}(\log\log n)}$時間で実行され、従来の$n^{\exp(O(\sqrt{\log\log n}))}$の境界を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幅の狭いDNF式は、近似品質を保ちながら、著しく短いDNFにスパarsify可能か？
• RQ2 幅$w$のDNFのみを用いて、サイズが$w$と$\log(1/\varepsilon)$の多項式に依存する$\varepsilon$-sandwiching近似器を構築可能か？
• RQ3 LubyとVelikovicの$n^{\exp(O(\sqrt{\log\log n}))}$の実行時間より、DNFの決定的カウンティングアルゴリズムをさらに高速化可能か？
• RQ4 幅が有界なDNFに対して、Mansourの予想のより強い形が成り立つのか？特に、サイズが$2^{O(w\log(1/\varepsilon))}$のスパースフーリエ近似が可能か？

主な発見

• 任意の幅$w$のDNFは、サイズが$(w\log(1/\varepsilon))^{O(w)}$未満である幅$w$のDNFとしての$\varepsilon$-sandwiching近似器を有する。
• 決定的DNFカウンティングアルゴリズムは、$\varepsilon = 1/\mathrm{poly}(\log n)$のとき、$n^{\tilde{O}(\log\log n)}$時間で実行され、従来の$n^{\exp(O(\sqrt{\log\log n}))}$の境界を改善する。
• 任意の幅$w$のDNFは、$(w\log(1/\varepsilon))^{O(w)}$-ジュンタによって$\varepsilon$-近似可能であり、有界幅DNFに対する強いジュンタ定理を提供する。
• この結果は、$n$変数上の幅$O(\log n)$のDNFが、サイズ$n^{O(\log\log n)}$、幅$O(\log n)$のDNFによって$n^{-O(1)}$-近似可能であることを示唆する。
• スパarsification結果は、$O(w)$の指数部においてタイトであり、この境界を単一指数関数的（singly exponential）に改善するための予想が提示されている。