[論文レビュー] Duality in N=4 Liouville Theory and Moonshine Phenomena

Tohru Eguchi, Yuji Sugawara|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、線形ダイアロン結合定数 Q の2つの特別な値において N=4 リウヴィル理論の双対性を調査し、中心電荷 c=6 および c=6(N−1) に対応する場合に、それらの双対的理論がマチューおよびアンブル・ムーンシャイン現象を示すことを示している。A型モジュラー不変量の下で、楕円的生成関数とシャドウを分析することにより、代数的恒等式を導出し、模倣モジュラー形式との数値一致を確認した。これにより、有効自由度が類似する二重 CFT を用いたムーンシャイン構造の双対的記述が確立された。

ABSTRACT

We consider the ${\cal N}=4$ Liouville theory by varying the linear dilaton coupling constant $\cal{Q}$. It is known that at two different values of coupling constant ${\cal Q}=\sqrt{2\over N},-(N-1)\sqrt{2\over N}$ system exhibits two different small ${\cal N}=4$ superconformal symmetries with central charge $c=6$ and $c=6(N-1)$, respectively. In the context of string theory these two theories are considered to describe Coulumb and Higgs branch of the theory and expected to be dual to each other. We study the Mathieu and umbral moonshine phenomena in these two theories and discuss their dual description. We mainly consider the case of $A_N$ type modular invariants.

研究の動機と目的

• 線形ダイアロン結合定数 Q の特別な値における、中心電荷 c=6 および c=6(N−1) を持つ2つの N=4 リウヴィル理論の双対性を調査すること。
• これらの双対的 conformal field theory におけるマチューおよびアンブル・ムーンシャイン現象の実現を検討すること。
• A型モジュラー不変量の下で、2つの双対的理論の楕円的生成関数に関する代数的恒等式および不等式を導出すること。
• シャドウと数値係数の一致を通じて、楕円的生成関数と模倣モジュラー形式の対応を確認すること。
• 有効中心電荷および第二ヘリシティスーパートレースを、数論的公式を通じてムーンシャイン関数の構造に関連付けること。

提案手法

• 著者らは、大きな N=4 スーパーレイマン代数の自由場実現と、線形ダイアロン結合定数 Q を用いたその変形を分析する。
• 彼らは、中心電荷がそれぞれ c=6 および c=6(N−1) を与える2つの特別な Q の値、Q=√(2/N) および Q=−(N−1)√(2/N) を特定する。
• この手法では、モジュラー性および自由場実現を用いて、2つの双対的 CFT に対する楕円的生成関数 h^{(N)}(τ) とシャドウ H^{(N)}(τ) を構成する。
• 彼らは、シャドウ関数をストリング理論的構成から得られる第二ヘリシティスーパートレースに結びつける重要な恒等式 H^{(N)}(τ) = 1/12 χ²^{(N,1)}(τ) を導出する。
• Eisenstein 級数 E₂(τ) および格子点への和を含む数論的恒等式を用いて、H^{(N)}(τ) とスーパートレース公式との一致を検証する。
• h^{(N)}(τ) の導出された級数展開と、N=2,3,4 における既知のムーンシャイン模倣モジュラー形式との間の数値一致を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心電荷 c=6 および c=6(N−1) を持つ2つの双対的 N=4 リウヴィル CFT の楕円的生成関数は、双対性の下でどのように関係するか？
• RQ2 マチューおよびアンブル・ムーンシャイン現象は、N=4 リウヴィル理論のクーロン枝およびハイッグス枝の記述の両方で一貫して実現可能か？
• RQ3 ストリング理論的モデルにおけるシャドウ関数 H^{(N)}(τ) と第二ヘリシティスーパートレース χ²^{(k,d)}(τ) の正確な関係は何か？
• RQ4 双対的理論の楕円的生成関数は、双対性構造およびモジュラー不変性を反映する代数的恒等式を満たすか？
• RQ5 A型モジュラー不変量は、ムーンシャイン関数の形およびその係数にどのように制約を加えるか？

主な発見

• c=6 の理論における楕円的生成関数 h^{(2)}(τ) は、既知のマチュー・ムーンシャイン関数と一致し、係数 -1, 45, 231, 770, 2277, 5796, ... が得られ、双対性の予測を確認した。
• N=3 (A₂¹²) の c=6(N−1) の理論では、数値的に -12H^{(3)}(τ) = h₁^{(3)}(τ)S₁,₃(τ) + h₂^{(3)}(τ)S₂,₃(τ) が成り立ち、係数 -2, 72, 216, 216, 336, ... が得られた。
• N=4 (A₃⁸) の理論では、-8H^{(4)}(τ) = h₁^{(4)}(τ)S₁,₄(τ) + h₂^{(4)}(τ)S₂,₄(τ) + h₃^{(4)}(τ)S₃,₄(τ) が数値的に確認され、係数 -2, 64, 192, 256, 384, ... が得られた。
• シャドウ関数 H^{(N)}(τ) が 1/12 χ²^{(N,1)}(τ) に等しいことが証明され、ムーンシャイン関数とストリング理論における第二ヘリシティスーパートレースとの直接的な関連が確立された。
• 導出により、H^{(N)}(τ) = (N/12)E₂(τ) − 1/12 + 2∑∑(2Nm+n)q^{Nm²+mn} − 2N∑mq^{Nm²} が得られ、スーパートレース公式と正確に一致した。
• 結果は、N=4 リウヴィル理論のクーロン枝とハイッグス枝の間の双対性を支持しており、中心電荷が異なっていてもムーンシャイン構造が双対性の下で保存されることを示唆している。