[論文レビュー] Dwyer-Kan Homotopy Theory of Algebras over Operadic Collections

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、便利なモノイダルモデル圏における増分的オペラッド的コロケーションの代数に対して、Dwyer-Kanモデル圏構造を確立し、拡張されたオペラッド、プロペラッド、プロップス、およびそれらのホイールド変種を統一的に扱う。主な貢献は、自明なファイブレーションが色上で全射である各成分ごとの自明なファイブレーションであることを保証する一般化された枠組みを提供することであり、ファイブレーション対象は各成分ごとにファイブレーションである。

ABSTRACT

Over suitable monoidal model categories, we construct a Dwyer-Kan model category structure on the category of algebras over an augmented operadic collection. As examples we obtain Dwyer-Kan model category structure on the categories of enriched wheeled props, wheeled properads, and wheeled operads, among others. This result extends known model category structure on the categories of operads, properads, and props enriched in simplicial sets and other monoidal model categories. We also show that our Dwyer-Kan model category structure is well behaved with respect to simultaneous changes of the underlying monoidal model category and the augmented operadic collection.

研究の動機と目的

• ホイールド変種を含む広範なオペラッド様代数的構造に対して、Dwyer-Kanモデル圏構造を一般化すること。
• 豊密化されたオペラッド、プロペラッド、プロップスの既存のモデル圏結果を、一つの枠組みで統一すること。
• 便利なモノイダルモデル圏における増分的オペラッド的コロケーションの代数に、コフィブレーション生成モデル構造を確立すること。
• 基礎となるモノイダルモデル圏とオペラッド的コロケーションの同時変更に対して、モデル構造がうまく振る舞う条件を示すこと。
• 標準的なオペラッドを超える豊密化代数のカテゴリに、Dwyer-Kan構造を体系的に構成する方法を提供すること。

提案手法

• 入力出力構造をパrametrizeするオペラッド的コロケーション (S, O) の概念を導入し、関手的にオペラッドを割り当てる。
• 豊密化カテゴリに余分なエントリを加えたものと関連する標準的増分を備えたオペラッド的コロケーションを定義する。
• コフィブレーション生成モデル構造を構成するために、クイレンの小さな対象の補題とリフト技術を適用する。
• 代数のカテゴリと余分なエントリを加えた豊密化カテゴリの間の随伴を用いて、モデル構造を移す。
• 自明なファイブレーションが、各成分ごとに自明なファイブレーションであり、色上で全射であるものであることを示す。
• ファイブレーション対象が、基本カテゴリにおいて各成分ごとにファイブレーションであるものであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホイールド変種を含む広範なオペラッド様構造の代数に対して、統一的なDwyer-Kanモデル圏構造を構築できるか？
• RQ2 増分的オペラッド的コロケーションの代数におけるモデル構造を、コフィブレーション生成かつ扱いやすいものにするにはどのような条件が必要か？
• RQ3 基礎となるモノイダルモデル圏の変更に対して、代数におけるモデル構造が保存されるための条件は何か？
• RQ4 代数のカテゴリにおけるファイブレーション対象と自明なファイブレーションは、基本カテゴリのファイブレーション対象と自明なファイブレーションとどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みは、既知のオペラッド、プロップス、プロペラッドのモデル構造を回復し、ホイールド版にまで拡張できるか？

主な発見

• 便利なモノイダルモデル圏における任意の増分的オペラッド的コロケーションは、その代数のカテゴリにDwyer-Kanモデル圏構造を備える。
• モデル構造はコフィブレーション生成であり、自明なファイブレーションは各成分ごとに自明なファイブレーションであり、色上で全射である。
• 代数のカテゴリにおけるファイブレーション対象は、すべての成分が基本カテゴリにおいてファイブレーションであるものに一致する。
• この枠組みは、シmlinチアルセットや他のモノイダルモデル圏における豊密化されたオペラッド、プロペラッド、プロップスの既知のDwyer-Kanモデル構造を回復する。
• この結果により、豊密化されたホイールドオペラッド、ホイールドプロペラッド、ホイールドプロップスに対する新しいDwyer-Kanモデル圏構造が得られる。
• この構成は、基礎となるモノイダルモデル圏とオペラッド的コロケーションの同時変更に対して安定しており、堅牢性と一般性を保証する。