[論文レビュー] Dynamic Return and Star-Shaped Risk Measures via BSDEs

Roger J. A. Laeven, Emanuela Rosazza Gianin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2023

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、パシュ＝ハウスドルフ包絡を介して凸型ドライバーを導入することにより、後向きストキャスティック微分方程式（BSDEs）と動的リターンおよび星型リスク測度の間の新しい関係を確立し、解の存在および一意性を保証する。主な貢献は、星型上界解の集合が空でない場合、最小の凸型上界解が存在し、星型リスク測度の本質的最小値を表すことを証明することであり、資本配分やポートフォリオ選択への応用を可能にする。

ABSTRACT

This paper establishes characterization results for dynamic return and star-shaped risk measures induced via backward stochastic differential equations (BSDEs). We first characterize a general family of static star-shaped functionals in a locally convex Fréchet lattice. Next, employing the Pasch-Hausdorff envelope, we build a suitable family of convex drivers of BSDEs inducing a corresponding family of dynamic convex risk measures of which the dynamic return and star-shaped risk measures emerge as the essential minimum. Furthermore, we prove that if the set of star-shaped supersolutions of a BSDE is not empty, then there exists, for each terminal condition, at least one convex BSDE with a non-empty set of supersolutions, yielding the minimal star-shaped supersolution. We illustrate our theoretical results in a few examples and demonstrate their usefulness in two applications, to capital allocation and portfolio choice.

研究の動機と目的

• 局所凸なフレシェラティス上での一般的な静的星型汎関数族を、凸解析を越えて特徴づけること。
• 星型リスク測度に存在する翻訳不変性（キャッシュ加法性）の欠如により、凸リスク測度理論で用いられる標準的手法が適用できない問題に対処すること。
• 非凸的かつ非単調な設定においても、BSDEsを用いた星型リスク測度の動的表現を構築すること。
• 星型上界解の集合が空でない場合、最小の凸型上界解が存在し、それが最小の星型上界解に一致することを示すこと。
• モデルおよび好みのロバストネス下での資本配分および最適ポートフォリオ選択といった実用的問題への応用を提示すること。

提案手法

• BSDEのドライバーを正則化するためにパシュ＝ハウスドルフ包絡を用い、リプシッツ連続性および一意解の存在を保証する。
• 動的凸型リスク測度を生成する凸型ドライバーの族を構築し、その本質的最小値が星型リスク測度を回復することを示す。
• フレシェラティスフレームワークを用いて、単調性やキャッシュ加法性を仮定しない静的星型汎関数の分析を行う。
• 文献[5]における凸型リスク測度の表現結果を、双対性および包絡技術を用いて星型汎関数へと拡張する。
• BSDEのフロー性質を活用して、得られるリスク測度の時不変性を保証し、特にポートフォリオ選択問題において有効であることを示す。
• 効用関数および確率測度の上でのミニマックス最適化問題としてポートフォリオ選択を定式化し、指数型、対数型、累乗型の効用関数に対してBSDE技術を用いて解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調性やキャッシュ加法性を仮定しない静的設定において、星型リスク測度をどのように特徴づけられるか？
• RQ2 その最小上界解が与えられたBSDEの最小星型上界解に一致するような、凸型ドライバーの族を構成できるか？
• RQ3 元の星型上界解集合が空でない場合、その上界解集合が空でない凸型BSDEが存在するための条件は何か？
• RQ4 時不変性とロバストネスを保ちながら、動的リターンおよび星型リスク測度をBSDEを用いてどのように表現できるか？
• RQ5 パシュ＝ハウスドルフ包絡をどのように用いることで、望ましいリスク測度の性質を保ったままBSDEドライバーを正則化できるか？

主な発見

• 単調性やキャッシュ加法性を仮定しない、局所凸フレシェラティス上での一般的な静的星型汎関数族が特徴づけられた。
• パシュ＝ハウスドルフ包絡により、リプシッツ条件のもとで解の存在および一意性を保証する凸型ドライバーの構築が可能となり、本質的最小値の性質を保持する。
• 星型上界解の集合が空でない場合、その最小凸型上界解が最小星型上界解に一致するような、少なくとも一つの凸型BSDEが存在する。
• BSDEのフロー性質のおかげで、得られる動的リスク測度は時不変性を満たし、逐次的意思決定に応用可能である。
• 本フレームワークは、複数の効用関数や確率測度を含むロバストな状況下での資本配分およびポートフォリオ選択に適用可能である。
• 指数型、対数型、累乗型の効用関数に対して、ポートフォリオ選択問題は凸型BSDEの族に還元され、全体の解はその族に対する最小化によって得られる。