[論文レビュー] Dynamical canonical heights for Jordan blocks, arithmetic degrees of orbits, and nef canonical heights on abelian varieties

Shu Kawaguchi, Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数的数体上の正規特異付値多様体のPicard群における自己準同型の作用におけるジョルダン細胞の一般化された動的正規化高さ理論を導入する。これらの高さの存在および関数方程式を確立し、軌道の算術的次数が存在し、代数的整数であり、有限個の値しか取り得ないことを証明する。アーベル多様体の場合、ゼロのネフ正規化高さをとる点を特徴付け、ザリスキ・DNA軌道が動的次数に等しい算術的次数を達成することを証明する。

ABSTRACT

Let f : X --> X be an endomorphism of a normal projective variety defined over a global field K, and let D_0,D_1,D_2,... be divisor classes that form a Jordan block with eigenvalue b for the action of f^* on Pic(X) tensored with C. We construct appropriately normalized canonical heights h_0,h_1,h_2,... associated to D_0,D_1,D_2,... and satisfying Jordan transformation formulas h_k(f(x)) = b h_k(x) + h_{k-1}(x). As an application, we prove that for every x in X, the arithmetic degree a_f(x) exists, is an algebraic integer, and takes on only finitely many values as x varies over X. Further, if X is an abelian variety defined over a number field and D is a nonzero nef divisor, we characterize points satisfying h_D(x)=0, and we use this characterization to prove that if the f-orbit of x is Zariski dense in X, then a_f(x) is equal to the dynamical degree of f.

研究の動機と目的

• 自己準同型による引き戻し作用の下で、除数がジョルダン細胞をなす場合の古典的動的正規化高さ理論を拡張すること。
• 正規特異付値多様体上の軌道の算術的次数に関する予想の最初の三つの部分を解決すること。
• アーベル多様体上のゼロのネフ正規化高さをとる点を特徴付け、それらの点と軌道の力学的性質を関連させること。
• アーベル多様体上でザリスキ・DNA軌道をもつ点に対して、算術的次数が動的次数に等しいことを証明すること。

提案手法

• 自己準同型の作用における $ \operatorname{Pic}(X) \otimes \mathbb{C} $ のジョルダン細胞構造に対して、関数方程式 $ \hat{h}_{D_k} \circ f = \lambda \hat{h}_{D_k} + \hat{h}_{D_{k-1}} $ を満たす正規化高さ関数 $ \hat{h}_{D_k} $ を構成する。
• 二項係数と $ \lambda $ の逆数の累乗を用いた再帰的極限公式を導出する。
• ワイエル高さの理論とテート極限を用いて、軌道成長の漸近的挙動を定義し分析する。
• 一般化された正規化高さを応用し、算術的次数の収束性と代数的整数性を証明する。
• アーベル多様体における正規化高さの二次部分の核を、ネフ除数に関して特徴付ける。
• アーベル多様体上のイソogenyに対して、点の算術的次数が動的次数に等しいことは、その軌道がザリスキ・DNAであることと同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己準同型 $ f: X \to X $ に対して、すべての点 $ x \in X(\bar{K}) $ に対して算術的次数 $ \alpha_f(x) $ が存在し、代数的整数であるか。
• RQ2 点 $ x $ が $ X(\bar{K}) $ を走るとき、算術的次数の集合 $ \{ \alpha_f(x) \} $ は有限個の値しか取り得ないか。
• RQ3 アーベル多様体上のネフ除数に関する正規化高さが、正確に真部分アーベル多様体とねじれ点の和集合上でゼロになるか。
• RQ4 ザリスキ・DNA前向き軌道をもつ点の算術的次数は、写像の動的次数に等しいか。
• RQ5 古典的正規化高さ理論を、Picard群におけるジョルダン細胞構造にどのように拡張できるか。

主な発見

• すべての $ x \in X(\bar{K}) $ に対して算術的次数 $ \alpha_f(x) $ が存在し、代数的整数であり、そのすべての値の集合は有限である。
• ジョルダン細胞に対する正規化高さ関数 $ \hat{h}_{D_k} $ は関数方程式 $ \hat{h}_{D_k} \circ f = \lambda \hat{h}_{D_k} + \hat{h}_{D_{k-1}} $ を満たし、正規化条件 $ \hat{h}_{D_k} = h_{D_k} + O(1) $ によって一意に定まる。
• 数体上のアーベル多様体に対して、$ \hat{h}_D(x) = 0 $ であることと、$ x \in B_D(\bar{\mathbb{Q}}) + A(\bar{\mathbb{Q}})_{\text{tors}} $ であることは同値であり、ここで $ B_D \subsetneq A $ は真部分アーベル多様体である。
• 写像 $ f $ の $ x $ に関する $ f $-軌道がアーベル多様体においてザリスキ・DNAであれば、$ \alpha_f(x) = \delta_f $ が成り立つ。
• CMアーベル多様体上のネフ除数 $ D $ に対して関連する正規化高さ $ \hat{h}_{A,D}(x) $ は、線形写像 $ x \mapsto (\sqrt{m} + \sigma)(x) $ の核上でのみゼロとなり、$ x $ が有理点であればこの核にはねじれ点しか含まれない。
• 点 $ x $ に対して $ \hat{h}_D(x) > 0 $ が成り立つとき、算術的次数は $ \alpha_f(x) \geq \delta_f $ を満たし、軌道がザリスキ・DNAであれば等号が成り立つ。