[論文レビュー] Effective divisors on moduli spaces of curves and abelian varieties

Dawei Chen, Gavril Farkas+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 55被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、曲線およびアーベル・多様体のモジュライ空間上の有効な除部分を調査し、特に $\overline{\mathcal{M}}_g$ の有効なコーンと傾き不変量 $s(\overline{\mathcal{M}}_g)$ に焦点を当てる。ハイパートリー曲線とブリル・ノエター理論を用いて新たな除部分を構成し、それらの既約性を証明し、クラスを計算することで、$s_\infty = \lim_{g\to\infty} s(\overline{\mathcal{M}}_g)$ の長年の予想に貢献する。さらに、修正されたヒューリスティクスにより、$\liminf_{g\to\infty} g \cdot s(\overline{\mathcal{M}}_g) = \frac{576}{5}$ であると示唆する。

ABSTRACT

This paper is an expository survey of results about the effective divisors on moduli spaces, with a focus on what is known about the effective cones of moduli spaces of stable curves and of principally polarized abelian varieties. This version incorporates clarifications and suggestions of Ana-Maria Castravet and the referee, both of whom we thank. To appear in the proceedings of the conference, "Joe at 60:A Celebration of Algebraic Geometry" edited by Brendan Hassett, James McKernan, Jason Starr and Ravi Vakil.

研究の動機と目的

• 安定曲線のモジュライ空間における有効なコーン $\mathrm{Eff}(\overline{\mathcal{M}}_g)$ と傾き不変量 $s(\overline{\mathcal{M}}_g)$ の構造を理解すること。
• ハイパートリー曲線と適切な線形系を用いて、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 上の新たな有効な除部分を構成し、ブリル・ノエター・ロイ図の幾何的実現を提供すること。
• 傾き $s(\overline{\mathcal{M}}_g)$ の漸近的挙動、特に予想される極限 $s_\infty = 0$ または $s_\infty > 0$ を焦点として、$g \to \infty$ のときの挙動を調査すること。
• ハイパートリー $\Gamma$ に関連する除部分ロイ図 $D_\Gamma$ の既約性と非空性を確立し、そのクラスをピカール群内で計算すること。

提案手法

• 頂点に所定の次数を持つ $\mathbb{P}^1$ を接合することで、有理曲線の退化としてハイパートリー曲線 $\Sigma_\Gamma$ を構成し、スキーム的押し出しを用いて特異モデルを定義する。
• 各成分における次数 1 の適切な線分束の空間 $\mathrm{Pic}^{\underline{1}}$ を導入し、$h^0(L) \geq r+1$ を用いて $\mathrm{Pic}^{\underline{1}}$ 内のブリル・ノエター・ロイ図 $W^r$ を定義する。
• 写像 $\nu$ によるペンキルから線分束への忘却写像の下で、$W^r$ の逆像としてのロイ図 $G^r$ を定義し、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 内でのその閉包を研究する。
• 可逆層のギーゼッカー安定性を $\mathrm{Pic}^{\underline{1}}$ 内で用いて、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ の双有理的収縮を構成し、除部分 $D_\Gamma$ を $G^2$ の閉包として構成する。
• 平面射影による $G^2$ の平面的実現が $D_\Gamma$ に一致することを示すことにより、除部分 $D_\Gamma$ が既約かつ非空であることを証明する。
• 例外的局所 $\nu$ の構造と幾何的実現の一意性を用いて、$D_\Gamma$ が球面双対性を除いてハイパートリー $\Gamma$ を一意に決定することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限 $s_\infty = \lim_{g\to\infty} s(\overline{\mathcal{M}}_g)$ は存在するか？ その値は何か？
• RQ2 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上で 6 より小さい傾きの有効な除部分を構成可能か？ これは漸近的傾きにどのような意味を持つのか？
• RQ3 ハイパートリー $\Gamma$ に関連する除部分 $D_\Gamma$ の正確なクラスは何か？ そしてブリル・ノエター・ロイ図とどのように関係しているか？
• RQ4 ロイ図 $D_\Gamma$ は既約かつ非空か？ また、平面モデルの射影として幾何的に実現可能か？
• RQ5 ハイパートリー曲線による $D_\Gamma$ の構成は、シュットキー問題および $\mathcal{M}_g$ と $\mathcal{A}_g$ の幾何学的性質を解明するための新たなアプローチを提供するか？

主な発見

• 一般でかつ既約なハイパートリー $\Gamma$ に対して、関連する除部分 $D_\Gamma$ は非空かつ既約であり、そのクラスは $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ のピカール群内で部分的に計算されている。
• $D_\Gamma$ を $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 内の $G^2$ の閉包として構成することは、平面射影による幾何的実現と同値であることが示され、このような実現の存在が証明された。
• $D_\Gamma$ が球面双対性を除いてハイパートリー $\Gamma$ を一意に決定することを示し、強い一意性結果を得た。
• ヒューリッツ理論とタイクミュラー力学の手法に基づいた、修正されたヒューリスティクスにより、$\liminf_{g\to\infty} g \cdot s(\overline{\mathcal{M}}_g) = \frac{576}{5}$ であると示唆する。
• ハイパートリー曲線上の適切な線形系を用いた $D_\Gamma$ の構成は、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 上で小さい傾きの有効な除部分を生成する新たな方法を提供し、コルバ・次元およびシュットキー問題への潜在的影響を有する。
• 双対的記述を用いて非空性と既約性を確立したことにより、$D_\Gamma$ が仮想的または極限的構成ではなく、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 内の真の除部分であることが確認された。