[論文レビュー] Eigenvarieties and invariant norms: Towards p-adic Langlands for U(n)

Claus Sorensen|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、CM体上の定値ユニタリ群 $U(n)$ に対して、$n$ 次元の $p$-進ガロア表現と $ {GL}_n(bQ_p)$ におけるユニタリで適切な作用をもつバナッハ＝ヘッケ加群を結びつける、グローバルな $p$-進ラングランズ対応を確立する。多くの場合においてブリュア・シュナイダー予想を証明し、これらの加群内の代数的ベクトルを $p$-進ホッジ理論に関連づけ、局所 $p$-進ラングランズ対応の候補を提示する。弱い局所・グローバル整合性および精錬されたセール重量への応用を含む。

ABSTRACT

We give a proof of the Breuil-Schneider conjecture in a large number of cases, which complement the indecomposable case, which we dealt with earlier in [Sor]. In some sense, only the Steinberg representation lies at the intersection of the two approaches. In this paper, we view the conjecture from a broader global perspective. If $U_{/F}$ is any definite unitary group, which is an inner form of $\GL(n)$ over $\K$, we point out how the eigenvariety $\X(K^p)$ parametrizes a global $p$-adic Langlands correspondence between certain $n$-dimensional $p$-adic semisimple representations $ρ$ of $\Gal(\bar{\Q}|\K)$ (or what amounts to the same, pseudo-representations) and certain Banach-Hecke modules $\mathcal{B}$ with an admissible unitary action of $U(F\otimes \Q_p)$, when $p$ splits. We express the locally regular-algebraic vectors of $\mathcal{B}$ in terms of the Breuil-Schneider representation of $ρ$. Upon completion, this produces a candidate for the $p$-adic local Langlands correspondence in this context. As an application, we give a weak form of local-global compatibility in the crystalline case, showing that the Banach space representations $B_{ξ,ζ}$ of Schneider-Teitelbaum [ScTe] fit the picture as predicted. There is a compatible global mod $p$ (semisimple) Langlands correspondence parametrized by $\X(K^p)$. We introduce a natural notion of refined Serre weights, and link them to the existence of crystalline lifts of prescribed Hodge type and Frobenius eigenvalues. At the end, we give a rough candidate for a local mod $p$ correspondence, formulate a local-global compatibility conjecture, and explain how it implies the conjectural Ihara lemma in [CHT].

研究の動機と目的

• CM体上の定値ユニタリ群 $U(n)$ に対して、ガロア表現とバナッハ＝ヘッケ加群を結びつけるグローバルな $p$-進ラングランズ対応を確立すること。
• 分解不能でない場合を含む広範なクラスにおいて、ブリュア・シュナイダー予想を証明すること。
• バナッハ＝ヘッケ加群内の局所的に正則代数的ベクトルと、関連するガロア表現のブリュア・シュナイダー表現との関係を特定すること。
• 固有多様体を用いて、$U(n)$ の文脈における $p$-進局所ラングランズ対応の候補を提示すること。
• 局所・グローバル整合性の予想を提示し、イハラの補題および精錬されたセール重量と関連づけること。

提案手法

• tame level $K^p$ の自動形式をパラメトライズする固有多様体 $\mathbb{X}(K^p)$ を用いて、グローバルな $p$-進ラングランズ対応を構成する。
• 保存的半安定ガロア表現を解析するため、$p$-進ホッジ理論および $(\phi,N)$-加群の理論に依拠する。
• $\r{GL}_n(\bbQ_p)$ の表現とバナッハ加群内の $K$-固定ベクトルを結びつけるために、コンパクト誘導とフロベニウスの随伴性を適用する。
• 予め指定されたホッジ型およびフロベニウス固有値を持つクリスタリン被覆を用いて、精錬されたセール重量の概念を導入する。
• 固有多様体を用いて、一貫性のあるグローバルな mod $p$ ラングランズ対応をパラメトライズし、シュナイダー＝タイテルバウムの局所表現 $B_{\xi,\zeta}$ と関連づける。
• 仮想表現および適切なユニタリ表現の理論を用いて、$p$-進設定における対応を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブリュア・シュナイダー予想は、$U(n)$ の文脈において、分解不能でない場合にどのように拡張可能か？
• RQ2 バナッハ＝ヘッケ加群内の局所的に正則代数的ベクトルと、関連するガロア表現の $p$-進ホッジ理論的データとの正確な関係は何か？
• RQ3 固有多様体を用いて、CM体上の定値ユニタリ群 $U(n)$ に対してグローバルな $p$-進ラングランズ対応を構成できるか？
• RQ4 グローバルな固有多様体の構成から、局所 $p$-進ラングランズ対応はどのように生じるか？
• RQ5 精錬されたセール重量は、クリスタリン被覆および mod $p$ ラングランズ対応の文脈で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、ガロア表現が分解不能でないすべてのケースを含む、多数のケースにおいてブリュア・シュナイダー予想を証明する。
• バナッハ＝ヘッケ加群 $\mathcal{B}$ 内の局所的に正則代数的ベクトルが、関連するガロア表現 $\rho$ のブリュア・シュナイダー表現と同型であることが示され、自動的側とガロア側との間の重要な接続が確立される。
• 固有多様体 $\mathbb{X}(K^p)$ は、$n$ 次元の $p$-進ガロア表現 $\rho$ と、$U(F\otimes\bbQ_p)$ に対する適切でユニタリな作用をもつバナッハ＝ヘッケ加群 $\mathcal{B}$ 間のグローバルな $p$-進ラングランズ対応をパラメトライズする。
• 本稿は、シュナイダー＝タイテルバウムの表現 $B_{\xi,\zeta}$ が、提示された $p$-進ラングランズ対応に自然に組み込まれることを示し、クリスタリンの場合における弱い形の局所・グローバル整合性を確認する。
• 精錬されたセール重量の概念を導入し、その重量が、指定されたホッジ型およびフロベニウス固有値を持つクリスタリン被覆の存在と一致することを示す。
• 本稿は、局所・グローバル整合性の予想を提示し、それが予想されるイハラの補題を含意することを示し、mod $p$ ラングランズのための概念的枠組みを提供する。