[論文レビュー] Elastic-Degenerate String Matching via Fast Matrix Multiplication

Giulia Bernardini, Paweł Gawrychowski+3 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2019

Algorithms and Data Compression被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、行列積の指数 ω < 2.373 を仮定したもとで、時間計算量 Õ(nm^{ω−1} + N) を達成する非組合的アルゴリズムを提示する。これは、従来の組合的下界を破り、高速行列積、文字列の周期性、FFTに基づく技術を組み合わせることで、指数を 1.5 から約 1.373 に低下させ、従来の結果を著しく改善する。

ABSTRACT

An elastic-degenerate (ED) string is a sequence of $n$ sets of strings of total length $N$, which was recently proposed to model a set of similar sequences. The ED string matching (EDSM) problem is to find all occurrences of a pattern of length $m$ in an ED text. An $O(nm^{1.5}\\sqrt{\\log m}+N)$-time algorithm for EDSM is known [Aoyama et al., CPM 2018]. The standard assumption in the prior work on this question is that $N$ is substantially larger than both $n$ and $m$, and thus we would like to have a linear dependency on the former. Under this assumption, the natural open problem is whether we can decrease the 1.5 exponent in the time complexity, similarly as in the related (but, to the best of our knowledge, not equivalent) word break problem [Backurs and Indyk, FOCS 2016]. Our starting point is a conditional lower bound for EDSM. We use the popular combinatorial Boolean Matrix Multiplication (BMM) conjecture stating that there is no truly subcubic combinatorial algorithm for BMM [Abboud and Williams, FOCS 2014]. By designing an appropriate reduction we show that a combinatorial algorithm solving the EDSM problem in $O(nm^{1.5-e}+N)$ time, for any $e&gt;0$, refutes this conjecture. Our reduction should be understood as an indication that decreasing the exponent requires fast matrix multiplication. String periodicity and fast Fourier transform are two standard tools in string algorithms. Our main technical contribution is that we successfully combine these tools with fast matrix multiplication to design a non-combinatorial $\ ilde{O}(nm^{\\omega-1}+N)$-time algorithm for EDSM, where $\\omega$ denotes the matrix multiplication exponent. To the best of our knowledge, we are the first to combine these tools. In particular, using the fact that $\\omega&lt;2.373$ [Le Gall, ISSAC 2014; Williams, STOC 2012], we obtain an $O(nm^{1.373}+N)$-time algorithm for EDSM.

研究の動機と目的

• 標準的な仮定 N ≫ n の下で、弾性不規則文字列照合（EDSM）の時間計算量を O(nm^{1.5}) 未満に低下させるという未解決問題に取り組む。
• EDSM に対して O(nm^{1.5−ε} + N) 時間で動作する任意の組合的アルゴリズムが、組合的ブール行列積（BMM）予想を反証することになると示す条件付き下界を確立する。
• 高速行列積、文字列の周期性、多項式乗算を活用する非組合的アルゴリズムを設計し、時間計算量の指数を 1.5 未塔に抑える。
• パターンに属する少なくとも1つのアンカーパターンを含むが、あまりに多くは含まないよう、EDテキスト内のすべての文字列にアンカーパターンが含まれるように保証する、新規なアンカーピンポイント選択技術を導入する。

提案手法

• 著者らは、組合的アルゴリズムが O(nm^{1.5−ε} + N) 時間で EDSM を解けるならば、組合的 BMM 予想を反証することを示す、新規な還元手法を用いて EDSM 問題をブール行列積に還元する。
• パターンから長さℓの部分文字列（アンカーパターン）の小さな集合を選択する手法を導入し、EDテキストに含まれるすべての文字列に少なくとも1つのアンカーパターンが含まれるようにすることで、マッチング処理の効率的な分解を可能にする。
• 文字列断片を表す多項式乗算を、係数が有効なマッチングを追跡する形で環上で行い、高速行列積を用いて計算を高速化する。
• アンカーパターンに基づいてパターンをセグメントに分割し、パターン部分文字列とテキスト集合の重なりを行列積を用いて計算する。不規則文字列の構造を活用する。
• 文字列の周期性と高速フーリエ変換（FFT）技術を組み合わせ、潜在的なマッチングを表す多項式積を効率的に計算し、高価な演算の回数を削減する。
• 最終的なアルゴリズムは Õ(nm^{ω−1} + N) 時間で実行され、ω は行列積の指数を表す。最新の ω < 2.373 の境界を用いることで、O(nm^{1.373} + N) 時間の計算量を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非組合的技術を用いて、弾性不規則文字列照合の時間計算量を O(nm^{1.5}) 未満に改善できるか？
• RQ2 EDSM に対して O(nm^{1.5−ε} + N) 時間で動作する組合的アルゴリズムが存在しないことを示す条件付き下界は存在するか？
• RQ3 高速行列積を文字列の周期性と FFT を用いた多項式乗算と効果的に組み合わせることで、EDSM をより効率的に解けるか？
• RQ4 アンカーピンポイント選択は、不規則文字列における効率的な分解と行列ベースのマッチングを可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ5 多項式乗算と行列指数の使用により、従来の手法よりも明確に高速なアルゴリズムが得られるか？

主な発見

• 本稿では条件付き下界を確立した：任意の組合的アルゴリズムが ε > 0 に対して O(nm^{1.5−ε} + N) 時間で EDSM を解けるならば、組合的ブール行列積（BMM）予想を反証することになる。
• 著者らは Õ(nm^{ω−1} + N) 時間で動作する非組合的アルゴリズムを提示した。ここで ω は行列積の指数を表し、これにより従来の組合的計算量の壁を破った。
• 最新の境界 ω < 2.373 を用いることで、アルゴリズムは O(nm^{1.373} + N) 時間の計算量を達成し、従来の O(nm^{1.5}√log m + N) の結果を著しく改善した。
• 主な技術的イノベーションは、EDテキスト内のすべての文字列に少なくとも1つ、しかしあまりに多くは含まれないパターンのアンカーパターンを保証する新規なアンカーピンポイント選択法である。これにより、効率的な分解と行列ベースの処理が可能になった。
• 本アルゴリズムは、高速行列積と文字列の周期性、FFTに基づく多項式乗算を効果的に組み合わせており、EDSM においてこの組み合わせが初めて知られている。
• EDSM の時間計算量の指数を 1.5 未塔に抑えるには、高速行列積が必要であり、組合的技術だけでは不十分であることが示された。