[論文レビュー] Elliptic Genera of singular varieties, orbifold elliptic genus and chiral deRham complex

Lev Borisov, Anatoly Libgober|ArXiv.org|Jul 20, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 26

ひとこと要約

本論文は、特異代数的多様体の2変数楕円的生成関数を、キラル・ド・ラーム複体のコホモロジーとオルビフォールド解消を用いて数学的枠組みとして導入する。これは、マクドナルドとザイジャーのオイラー乗数およびシグネチャの生成関数を一般化する。対称積のオルビフォールド楕円的生成関数の閉形式の生成関数が導出され、ストリング理論から得られた結果が代数幾何学に厳密な数学的証明を伴って拡張される。

ABSTRACT

This paper surveys the authors recent work on two variable elliptic genus of singular varieties. The last section calculates a generating function for the elliptic genera of symmetric products. This generalizes the classical results of Macdonald and Zagier.

研究の動機と目的

• 特異代数的多様体への2変数楕円的生成関数のコホモロジー的メソッドによる拡張。
• 従来ストリング理論によって得られていたオルビフォールド楕円的生成関数の数学的基盤の構築。
• 古典的なオイラー乗数およびシグネチャの生成関数に関する結果を、楕円的生成関数の文脈へ一般化すること。
• 代数幾何学におけるキラル・ド・ラーム複体と楕円的生成関数との間の関係の確立。

提案手法

• ファノのトーリック多様体内の超曲面に対して、キラル・ド・ラーム複体のコホモロジーを用いて楕円的生成関数を定義する。
• 特異点の解消を用いて、特異多様体の楕円的生成関数を滑らかなモデルの極限として定義する。
• 群作用による$X/G$の商空間のための楕円的生成関数を、$X$のコホモロジー上の群作用を用いて定義する。
• Lefschetzの固定点定理と対称群の共轭類上の生成関数を用いて、オルビフォールド生成関数を計算する。
• モジュラー性およびシグマ関数を用いて、生成関数を特徴的系列およびモジュラー形式の形で表現する。
• サイクル型の和をとることとLefschetz数の乗法性を用いて、対称積の生成関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2変数楕円的生成関数を、数学的に厳密に特異代数的多様体へどのように拡張できるか。
• RQ2 特異多様体の文脈において、キラル・ド・ラーム複体と楕円的生成関数の関係は何か。
• RQ3 対称積オルビフォールドのDijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlindeの公式を、純粋に数学的に導出可能か。
• RQ4 対称積の楕円的生成関数の生成関数は、マクドナルドのオイラー乗数の公式およびザイジャーのシグネチャの公式をどのように一般化するか。

主な発見

• オルビフォールド楕円的生成関数の対称積の生成関数は、$\prod_{m,l} \frac{1}{(1 - t q^m y^l)^{c(m,l)}}$ で与えられる。ここで$c(m,l)$は、元の多様体の楕円的生成関数からの係数である。
• この式は、$q=0$ および $y=-1$ とすると、マクドナルドの生成関数 $\frac{1}{(1-t)^{e(X)}}$ に特殊化される。
• この式は、$q=0$ および $y=1$ とすると、ザイジャーのシグネチャ生成関数 $\frac{(1+t)^{\sigma-e\over 2}}{(1-t)^{\sigma+e\over 2}}$ に回復される。
• 対称積$X^n / \Sigma_n$の楕円的生成関数は、$\Sigma_n$の共轭類の和をとり、群作用のLefschetz数で重みづけすることで計算される。
• キラル・ド・ラーム複体は、特異多様体に対しても物理的定義と一致するコホモロジー的モデルを提供する。
• この手法により、対称群の表現理論と楕円的生成関数の文脈におけるモジュラー形式との明確な関係が確立される。