[論文レビュー] Empirical central limit theorems for ergodic automorphisms of the torus

Jérôme Dedecker, Florence Merlevède+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2012

Mathematical Dynamics and FractalsMathematics参考文献 17被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、可観測関数にやや弱い連続性条件を課した場合、トーラスの混合的自己同型における逐次的経験過程の弱収束を確立する。非適応列のための新しいモーメント不等式と条件付き期待値の推定を用いて、$L^p$ および一様位相においてガウス過程への収束を証明し、独立同分布でない、従属的な力学系へ機能中心極限定理を拡張する。

ABSTRACT

Let T be an ergodic automorphism of the d-dimensional torus T^d, and f be a continuous function from T^d to R^l. On the probability space T^d equipped with the Lebesgue-Haar measure, we prove the weak convergence of the sequential empirical process of the sequence (f o T^i)_{i \geq 1} under some mild conditions on the modulus of continuity of f. The proofs are based on new limit theorems and new inequalities for non-adapted sequences, and on new estimates of the conditional expectations of f with respect to a natural filtration.

研究の動機と目的

• $d$-次元トーラスの混合的自己同型に対する逐次的経験過程の弱収束を確立すること。
• 独立同分布でない、従属的な系列が生じる決定論的力学系へ機能中心極限定理を拡張すること。
• 経験過程がガウス極限へ弱収束するための、可観測関数のモジュラス連続性に関する条件を提供すること。
• 非適応的で弱く依存する系列に対して、新たな確率的道具（モーメント不等式および条件付き期待値推定）を力学系において開発すること。
• 部分和への応用を可能とし、弱不変性原理および強不変性原理における収束速度を含む。

提案手法

• 滑らかなバナッハ空間、特に $L^p$-値過程において、従属系列のための新しい中心極限定理を導出する。
• 非適応的で弱く依存する系列のための、新しいローゼンタール型不等式を確立し、経験過程のモーメントを制御する上で不可欠である。
• リンズの分割からのフィルトレーションに関して、可観測関数のモジュラス連続性を用いて、条件付き期待値を制御する重要な推定（定理19）を導入する。
• 混合的トーラス自己同型のスペクトル的性質および関連する線形写像 $S$ の構造を用いて、依存の減衰を制御する。
• 区間 $[0,1] \times \mathbb{R}^\ell$ 上の一様位相における極限ガウス過程の特徴づけに、キーファー過程の理論を適用する。
• 可観測関数のモジュラス連続性と条件付き期待値の減衰の関係を活用し、フーリエ係数または対数特異性の可積分性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可観測関数 $f$ のモジュラス連続性に関して、どのような条件下で逐次的経験過程 $\{n^{-1/2}S_{[nt]}(s)\}$ がガウス過程に弱収束するか？
• RQ2 非適応的系列のためのモーメント不等式は、非双曲的トーラス自己同型のような長距離依存性を示す力学系へ拡張可能か？
• RQ3 ホルダー正則性を仮定しないで、可観測関数 $f$ のモジュラス連続性のみを用いて、条件付き期待値推定を制御することは可能か？
• RQ4 これらの結果は、部分和に対する弱不変性原理および強不変性原理における収束速度にどのような意味を持つのか？
• RQ5 従属的な場合において、キーファー過程型極限を用いて、トーラス上での経験過程の極限挙動をどの程度特徴づけられるか？

主な発見

• 逐次的経験過程 $\{n^{-1/2}S_{[nt]}(s), t \in [0,1], s \in \mathbb{R}^\ell\}$ は、$\ell^\infty([0,1] \times \mathbb{R}^\ell)$ において一般化されたキーファー過程へ弱収束する。これは、時間に沿って独立増分を持つガウス過程であり、$f$ に依存する共分散構造を持つ。
• このとき $\ell=1$ であれば、過程 $\{n^{-1/2}S_{[nt]}(s)\}$ は $D_{L^p}([0,1])$ において $L^p$-値ウィーナー過程に弱収束し、明確に特徴づけられた共分散作用素を持つ。
• 条件 $\sum_{n>0} \frac{\omega(f, \zeta^n)}{\sqrt{n}} < \infty$ が成り立てば、任意の $p > 2$ に対して $\left\| \max_{1 \leq k \leq n} \left| \sum_{i=1}^k (f \circ T^i - \bar{\lambda}(f)) \right| \right\|_p \ll n^{1/2}$ が成り立ち、モーメントの上限が保証される。
• 積分条件 $\int_0^{1/2} \frac{\omega(f,t)}{t |\log t|^{1/2}} dt < \infty$ は、分散級数 $\sigma^2(f)$ の絶対収束および部分和に対する弱不変性原理を保証する。
• $a > 1/2$ に対して、強不変性原理における収束速度はほとんど確実に $o(n^{1/2 - \epsilon})$ である。$a \geq 3/2$ であれば、収束速度は $n^{1/4} \log n$ に改善される。
• 重要な推定（定理19）により、$\mathbb{E}_0[g^{(0)}_{s,t}(X_j) g^{(0)}_{s,t}(X_{j+i})]$ の条件付き期待値が $\omega(f, \cdot)$ の関数として制御可能であり、ホルダー正則性を仮定しないまま、緊密性および収束の証明が可能になる。