[論文レビュー] Enriched diagrams of topological spaces over locally contractible enriched categories

Philippe Gaucher|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所的に可縮可能な小さな圏を添字とする位相的に豊かにされた空間の図式における射影的モデル構造が、位相空間上の標準的Quillenモデル構造とQuillen同値であることを確立している。豊かにされた設定で作業することで、非減少ホメオモルフィズムの群 𝒢 におけるホモトピー余極限が弱ホモトピー型を保存しないという、方向付きホモトピー理論における重要な問題を解決し、豊かにされた枠組みが正しいホモトピー的性質を回復することを示している。

ABSTRACT

It is proved that the projective model structure of the category of topologically enriched diagrams of topological spaces over a topologically enriched locally contractible small category is Quillen equivalent to the standard Quillen model structure of topological spaces. We give a geometric interpretation of this fact in directed homotopy.

研究の動機と目的

• 方向付きホモトピー理論において、非減少ホメオモルフィズムの群 𝒢 におけるホモトピー余極限が弱ホモトピー型を保存しない問題を解消すること。
• 豊かにされた図式における射影的モデル構造と標準的Quillenモデル構造の間のQuillen同値性を確立すること。
• d-空間およびmultipointed d-空間の文脈におけるこの同値性の幾何的解釈を提供すること。
• 特に群 𝒢 に対して、豊かにされた設定が未豊かにされた設定が失敗する場所で正しいホモトピー的性質を回復することを示すこと。
• 豊かにされた圏論およびミックスモデル構造を用いて、ホモトピー余極限の構成を弱同値を保存するように一般化すること。

提案手法

• 本稿では位相的に豊かにされた圏を用い、小さな位相的に豊かにされた圏 𝒫 からΔ生成位相空間の圏への関手として図式を定義する。
• このような図式の圏に、弱同値とファイブレーションを点ごとの定義を持つ射影的ミックスモデル構造を構成する。
• 単一対象の包含写像がモノイド 𝒢（または 𝒫）に含まれるとき、これはミックスコフェイブルであることを証明し、適切なモデル構造の性質を保証する。
• 特にShulmanによる「非常に良い圏」の観点からの豊かにされたホモトピー代数の結果を応用する。
• 圏内のすべての写像空間がコフェイブルであり、単一対象の包含写像が 𝒫 に含まれるときミックスコフェイブルであるという事実を用いて、Quillen同値性の条件を検証する。
• 𝒫 から一対象の圏へのスリミング関手によって誘導される右Quillen関手を通じて、射影的モデル構造の間のQuillen同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非減少ホメオモルフィズムの群 𝒢 における図式のホモトピー余極限が、入力空間が可縮であっても弱ホモトピー型を保存しないのはなぜか？
• RQ2 図式の圏を豊かにすることで、方向付きホモトピー理論におけるホモトピー余極限の構成を是正できるか？
• RQ3 局所的に可縮可能な圏上の豊かにされた図式における射影的モデル構造は、標準的Quillenモデル構造とQuillen同値か？
• RQ4 豊かにされた構造は、方向付きホモトピー理論におけるホモトピー余極限の正しくないホモトピー的性質を回復するために果たす役割は何か？
• RQ5 ミックスモデル構造および写像空間のコフェイブル性条件は、Quillen同値性の結果にどのように寄与するか？

主な発見

• 群 𝒢 における図式 𝒟^𝒢(X,dX) のホモトピー余極限は、B𝒢 とホモトピー型を持ち、これは可縮ではない、たとえ dX が単一対象であってもそうである。
• モノイド 𝒫 = 𝒫 に対して、図式 𝒟^𝒫(X,dX) のホモトピー余極限は dX と弱ホモトピー同値であり、正しいホモトピー型が保存される。
• 𝒫 が局所的に可縮可能であるとき、[𝒫, Top]₀ における射影的モデル構造は、Top における標準的Quillenモデル構造とQuillen同値である。
• 単一対象の包含写像がCole-Strømモデル構造においてミックスコフェイブルであることは、モデル圏の公理が成立する上で不可欠である。
• スリミング関手 f*: [Thin(𝒫), Top]₀ → [𝒫, Top]₀ によって誘導されるQuillen随伴はQuillen同値であり、これが主結果を証明する。
• [𝒫, Top]₀ における射影的ミックスモデル構造は適切であり、射影的Quillenモデル構造とQuillen同値であるため、標準的ホモトピー理論と整合性を持つ。