[論文レビュー] Entropy and Grand Lebesgue Spaces approach for Prokhorov-Skorokhod continuity of random processes, with tail estimates

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Analysis of environmental and stochastic processes参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、メトリックエントロピーとグランドルベーグ空間（GLS）を用いて、確率過程のプロホロフ＝スコロホド連続性の新たな十分条件を確立し、プロホロフ＝スコロホドモジュールの非漸近的尾確率推定値を提供する。ローゼンタール型不等式とGLSノルムを用いて指数的尾確率バウンドを導出し、$ D[0,1] $ における弱コンパクト性と中心極限定理（CLT）収束を可能にする。正規化部分和の尾挙動について、明示的なモーメントに基づく推定値が得られる。

ABSTRACT

We present in this paper a new sufficient condition for the so-called Prokhorov-Skorokhod continuity of random processes. Our conditions will be formulated in the terms of metric entropy generated by three-dimensional distribution of the considered random process (r.p.) in the parametric set, have a convenient and closed form, and generalize some previous results. We study also the conditions for weak compactness of the sequence of random processes in this space and as a consequence the Central Limit Theorem. Our consideration based on the theory of Prokhorov-Skorokhod spaces of random processes and on the theory of Banach spaces of random variables with exponential decreasing tails of distributions, namely, on the theory of Grand Lebesgue Spaces (GLS) of random variables.

研究の動機と目的

• 確率過程の概収束路がプロホロフ＝スコロホド空間 $ D[0,1] $ に属することを保証し、右連続で左極限を持つサンプルパス（cadlag）を確保するための十分条件を確立すること。
• プロホロフ＝スコロホドモジュール $ \Delta[\xi] $ 及びその連続性モジュラス $ \kappa[\xi](h) $ に対する非漸近的で指数的尾確率推定値を導出すること。
• 確率過程の列が $ D[0,1] $ で弱コンパクトであることを保証し、この空間における中心極限定理（CLT）の適用を可能にすること。
• メトリックエントロピーとグランドルベーグ空間（GLS）を用いて条件を表現することで、以前の結果を一般化し、閉形式で使いやすく、解析的に取り扱いやすい枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者らは、パラメトリック集合における確率過程の3次元分布のメトリックエントロピーを用いて、プロホロフ＝スコロホド連続性の十分条件を定式化する。
• グランドルベーグ空間（GLS）の理論を応用し、特にモーメント生成関数とオルリーツノルムを用いて、指数的尾部減衰を示す確率変数を特徴付ける。
• 主要な技術的道具として、ローゼンタールの不等式を、正規化和 $ S_n(t) = n^{-1/2} \sum_{j=1}^n \xi_j(t) $ の $ p $ 次モーメントをバウンドする形に適応し、$ K_R(p) \leq C_A \cdot p / \ln p $ を満たす。
• 関数 $ y(p) = \sup_{s \in (0,1)} \sup_{(r,t) \in R(s)} |\delta[\xi](r,s,t)|_p $ を定義し、増分の揺らぎを定量化し、連続性モジュラスを制御する。
• 単調関数 $ B $ を導入し、$ |\delta[\xi](r,s,t)|_p \leq |B(t) - B(r)| \cdot y(p) $ を満たすようにすることで、サンプルパスの変動を制御する。
• パラメータ $ p \in [2,b) $ における最適化を通じて尾確率バウンドを導出し、$ u $、$ y(p) $、連続性モジュラス $ \omega[B](2h) $ を用いた指数的減衰率を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなエントロピーおよびGLS条件のもとで、確率過程のプロホロフ＝スコロホド連続性が保証されるか？
• RQ2 プロホロフ＝スコロホドモジュール $ \Delta[\xi] $ 及びそのモジュラス $ \kappa[\xi](h) $ に対して、非漸近的で指数的尾確率推定値をどのように導出できるか？
• RQ3 $ D[0,1] $ における確率過程の列が弱コンパクトであるための条件は何か？ これによりCLTの適用が可能になる。
• RQ4 ローゼンタール型不等式とGLSノルムは、$ D[0,1] $ における尾挙動および収束に関する既存の結果をどのように精緻化するか？

主な発見

• 本稿では、$ y(p) \leq C_1 p^{1/m} \ln^s p $ が成り立つならば、$ u \geq e $ に対して $ \sup_n \mathbf{P}(\Delta[S_n] > u) \leq \exp\left\{ -C_2 u^{m/(m+1)} |\ln u|^{m(s-1)/(m+1)} \right\} $ が成り立つことを確立した。
• 連続性モジュラスに関しては、$ u > e \cdot \omega[B](2h) \cdot |\ln \omega[B](2h)|^{1+1/m} $ のとき、$ \sup_n \mathbf{P}(\kappa[S_n](h) > u) \leq 2 (\omega[B](2h))^{-1} \exp\left\{ -C_3 \left( u / \omega[B](2h) \right)^{m/(m+1)} |\ln(u / \omega[B](2h))|^{m(s-1)/(m+1)} \right\} $ が成り立つ。
• 有界連続汎関数 $ F $ に対して $ \sup_n \mathbf{E} F(S_n) \to \mathbf{E} F(S_\infty) $ が成り立つことが示され、弱収束およびこの空間におけるCLTの成立が確認された。
• ローゼンタールの不等式を $ K_R(p) \leq C_A p / \ln p $（$ C_A \approx 0.6535 $）を満たすように用いることで、鋭いモーメント制御と尾確率推定が可能になった。
• GLSノルムとメトリックエントロピーを用いて条件を表現することで、以前の結果を一般化し、閉形式で使いやすく、解析的に取り扱いやすい基準を提供した。
• 結果はマルティングルド・ディファレンスや不連続過程にも適用可能であり、非パラメトリック統計やモンテカルロ積分への応用を有する。