[論文レビュー] Entropy in Quantum Information Theory -- Communication and Cryptography

Christian Majenz|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 62被引用数 5

ひとこと要約

本学位論文は、量子情報理論において、カタ拉的デコherenceを導入することで、1回限りの量子ソース符号化の結果を統一し、制約付き非フォン・ノイマン不等式を証明し、ポーツベーストランスミッションのリソースにきわめて鋭い下界を確立（誤差がゼロに近づく際、N がシステム次元に対して一様に発散することを示し）、また、秘密性を含む量子非変形性の情報理論的定義を新たに提唱し、2-designを用いた認証暗号化の実現を可能にする。

ABSTRACT

In this Thesis, several results in quantum information theory are collected, most of which use entropy as the main mathematical tool. *While a direct generalization of the Shannon entropy to density matrices, the von Neumann entropy behaves differently. A long-standing open question is, whether there are quantum analogues of unconstrained non-Shannon type inequalities. Here, a new constrained non-von-Neumann type inequality is proven, a step towards a conjectured unconstrained inequality by Linden and Winter. *IID quantum state merging can be optimally achieved using the decoupling technique. The one-shot results by Berta et al. and Anshu at al., however, had to bring in additional mathematical machinery. We introduce a natural generalized decoupling paradigm, catalytic decoupling, that can reproduce the aforementioned results when used analogously to the application of standard decoupling in the asymptotic case. *Port based teleportation, a variant of standard quantum teleportation protocol, cannot be implemented perfectly. We prove several lower bounds on the necessary number of output ports N to achieve port based teleportation for given error and input dimension, showing that N diverges uniformly in the dimension of the teleported quantum system, for vanishing error. As a byproduct, a new lower bound for the size of the program register for an approximate universal programmable quantum processor is derived. *In the last part, we give a new definition for information-theoretic quantum non-malleability, strengthening the previous definition by Ambainis et al. We show that quantum non-malleability implies secrecy, analogous to quantum authentication. Furthermore, non-malleable encryption schemes can be used as a primitive to build authenticating encryption schemes. We also show that the strong notion of authentication recently proposed by Garg et al. can be fulfilled using 2-designs.

研究の動機と目的

• 量子情報理論における非シャノン型不等式の欠如に応えるために、制約付き非フォン・ノイマン不等式を証明すること。
• 新規のデコherenceフレームワークを用いて、1回限りの量子ソース符号化の結果を統合的かつ一般化すること。
• 誤差がゼロに近づく極限における、ポーツベーストランスミッションに必要なポーツ数のきわめて鋭い下界を確立すること。
• 量子非変形性の定義を強化し、その量子認証および暗号化への影響を示すこと。
• Garg らが最近提唱した強力な認証基準を2-designを用いて達成できることを示すこと。

提案手法

• カタ拉的デコherenceを、漸近的状態における標準的デコherenceと類似した構造を有する一般化されたデコherenceの枠組みとして導入し、既知の1回限りの結果を回復する。
• Linden と Winter が予想した非制約付き量子不等式の解明に向けた一歩として、新たな制約付き非フォン・ノイマン型不等式を証明する。
• 最小エントロピーおよび最大エントロピーを含む情報理論的技法を用いて、ポーツベーストランスミッションにおける出力ポーツ数の下界を導出する。
• 量子チャネルと状態の双対性および2-designの性質を用いて、非変形性暗号化方式の構築と分析を行う。
• 量子相互情報量および最大相互情報量の枠組みを用いて、一様状態の統合および関連プロトコルを分析する。
• 量子シャノン理論の結果（特にデコherence定理および量子チャネルの構造）を活用し、リソース要件の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約付き設定において、非フォン・ノイマン型不等式を証明することは可能か？ これは非制約付き量子不等式の解明に向けた一歩となる。
• RQ2 カタ拉的デコherenceは、別個の数学的道具を用いて以前に得られた一様状態統合の最適1回限りの結果を再現できるか？
• RQ3 誤差がゼロに近づく際、ポーツベーストランスミッションにおける出力ポーツ数 $N$ は、送信されるシステムの次元に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ4 秘密性を含み、認証暗号化を可能にする、より強い量子非変形性の定義を提示できるか？
• RQ5 Garg らが最近提唱した強力な認証基準を2-designを用いて達成できるか？

主な発見

• 制約付き非フォン・ノイマン型不等式が新たに証明され、長年の未解決問題である非制約付き量子非シャノン不等式の解明に向けた重要な一歩を示した。
• カタ拉的デコherenceは、一様状態統合の最適1回限りの結果を的確に再現し、このような解析のための統一的かつ自然なフレームワークを提供した。
• 誤差がゼロに近づく際、ポーツベーストランスミッションにおける出力ポーツ数 $N$ が、送信されるシステムの次元に対して一様に発散することを証明し、根本的なリソースコストの障壁を示した。
• 情報理論的量子非変形性の新たな定義を提唱し、この定義は秘密性を含意し、認証暗号化方式の構築を可能にした。
• 2-designが、Garg らが最近提唱した強力な認証基準を達成できることを示し、実用的かつ効率的な構築法を提供した。
• ポーツベーストランスミッションの解析の副産物として、近似的なユニバーサルプログラマブル量子プロセッサにおけるプログラムレジスタのサイズに対する新たな下界が導出された。