[論文レビュー] Pseudo-randomness and Learning in Quantum Computation

Richard A. Low|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 97被引用数 10

ひとこと要約

本学位論文は、ランダムな量子回路を用いて、量子 $k$-デザインの効率的構成を提案し、2-デザインへの収束が速く、$k = O(n / \log n)$ の $k$-デザインを可能にすることを証明している。$k$-デザインが量子アルゴリズムの確率的要因を軽減できること、大偏差限界を拡張できることを示しており、さらに Clifford 群の最適な学習・テストプロトコルを提供し、$k$ が多項式的である場合に Haar 測度を模倣することを示している。これにより、ランダム性を低減した効率的な量子計算が可能になる。

ABSTRACT

This thesis discusses the young fields of quantum pseudo-randomness and quantum learning algorithms. We present techniques for derandomising algorithms to decrease randomness resource requirements and improve efficiency. One key object in doing this is a k-design, which is a distribution on the unitary group whose kth moments match those of the unitarily invariant Haar measure. We show that for a natural model of a random quantum circuit, the distribution of random circuits quickly converges to a 2-design. We then present an efficient unitary k-design construction for any k, provided the number of qubits n satisfies k = O(n/log n). In doing this, we provide an efficient construction of a quantum tensor product expander, which is a generalisation of a quantum expander which in turn generalises classical expanders. We then discuss applications of k-designs. We show that they can be used to improve the efficiency of many existing algorithms and protocols and also find new applications to derandomising large deviation bounds. In particular, we show that many large deviation bound results for Haar random unitaries carry over to k-designs for k = poly(n). In the second part of the thesis, we present some learning and testing algorithms for the Clifford group. We find an optimal algorithm for identifying an unknown Clifford operation. We also give an algorithm to test if an unknown operation is close to a Clifford or far from every Clifford.

研究の動機と目的

• 量子アルゴリズムにおけるランダムネスを低減する、効率的な量子 $k$-デザインの構築を目的とする。
• ランダムな量子回路が 2-デザインへ速やかに収束することを証明し、実用的な確率的要因の軽減を可能にする。
• $k$-デザインが $k = \operatorname{poly}(n)$ の場合に Haar 測度の濃縮性や大偏差性質を模倣することを示し、統計力学への応用可能性を拡張する。
• Clifford 群の最適な学習・テストアルゴリズムの設計を目的とし、Clifford 操作の効率的同定と検証を可能にする。

提案手法

• 量子拡張子の一般化として、効率的な $k$-デザイン生成を可能にする量子テンソル積拡張子（QTPE）を構築する。
• 局所ゲートを用いたランダムな量子回路を用い、$O(n^2)$ の深さで 2-デザインへ収束することを示し、モーメントマッチングとマルコフ連鎖解析を活用する。
• 対数ソボレフ不等式と固有値ギャップ解析を用いて、混合時間の上限を評価し、$k$-デザインへの収束を証明する。
• パウリ群の分解とユニタリ不変性を用い、ユニタリ同士の距離と、それらがパウリ演算子に作用する共役の距離との関係を導出する。
• 測度の集中とモーメントバウンドを用い、$k = \operatorname{poly}(n)$ の場合に $k$-デザインが Haar 測度と同様の大偏差限界を満たすことを示す。
• パウリ共役と距離最小化に基づく再帰的学習アルゴリズムを構築し、$\ell^2$-ノルムの集中を用いて誤差バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな量子回路は、$k = O(n / \log n)$ の場合に $k$-デザインを効率的に生成できるか？また、収束速度はどの程度か？
• RQ2 多項式的 $k = \operatorname{poly}(n)$ の場合に、$k$-デザインが Haar 測度の濃縮性や大偏差性質をどの程度模倣するか？
• RQ3 $k$-デザインを用いて、デコherence や状態準備、測定基準量子計算などの量子プロトコルの確率的要因を軽減できるか？
• RQ4 未知の Clifford 操作を学習またはテストするために必要な最小クエリ数は何か？
• RQ5 ユニタリ距離の測度を、パウリ共役距離とどのように関連づけることができるか？これにより、効率的な学習・テストが可能になる。

主な発見

• 深さ $O(n^2)$ のランダムな量子回路は 2-デザインへ収束し、量子アルゴリズムの確率的要因の軽減が可能になる。
• 混合時間の有界な量子テンソル積拡張子を用いて、$k = O(n / \log n)$ の場合に効率的なユニタリ $k$-デザインの構成が達成された。
• 多項式的 $k = \operatorname{poly}(n)$ の場合、$k$-デザインは Haar 測度と同様の大偏差限界を満たし、測度の集中に依存するプロトコルの確率的要因の軽減が可能になる。
• $k$-デザインのエントロピーが Haar 値のまわりに集中しており、偏差が $O(1/k)$ で抑えられることを示し、$k$ が大きい場合にほぼ最大エントロピーを達成することが示された。
• 未知の Clifford 操作を学習する最適なアルゴリズムは $O(n^2)$ のクエリを要し、情報理論的下界と一致する。
• Clifford 測定アルゴリズムは、$O(n^2)$ のクエリと $k$-デザイン技術を用いて、未知のユニタリが Clifford に近いか、すべての Clifford 操作から遠いかを高い信頼性で区別できる。