[論文レビュー] Equidistribution of saddle periodic points for Henon-type automorphisms of C^k

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正の閉カレントの密度論を用いた新規なアプローチにより、ℂ^k 上のヘノン型自己同型写像に対して、鞍点周期的点が均衡測度に関して等分布することを確立する。主な結果は、周期 n の鞍点周期的点の正規化された数え上げ測度が n → ∞ のとき弱収束して、グリーン（均衡）測度 μ に収束することである。

ABSTRACT

In this paper, we prove the equidistribution of saddle periodic points for Henon-type automorphisms of C^k with respect to it equilibrium measure. A general strategy to obtain equidistribution properties in any dimension is presented. It is based on our recent theory of densities for positive closed currents. Several fine properties of dynamical currents are also proved.

研究の動機と目的

• ℂ^k 上のヘノン型自己同型写像に対して、鞍点周期的点が均衡測度 μ に関して等分布することを確立すること。
• 複素力学系およびカレント論の高度な道具を用いて、任意次元における等分布を示す一般戦略を構築すること。
• 次元 2 の古典的ケースを超えて、非一様双曲的性質を有する高次元な正則自己同型写像へと等分布結果を拡張すること。
• 力学的カレントの細かな性質、特に接カレントの存在および構造、およびそれらの交差に関する分析を行うこと。
• ヘノン写像を超える他の有理写像力学系へも適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 正の閉カレントの密度論、特に接カレントおよび弱交差の概念を用いる。
• フィビニ・シュタディ形式の引き戻しの収束を用いて、グリーンカレント τ₊ および τ₋ を定義し、それらから主な力学的カレント T₊ = τ₊^p および T₋ = τ₋^{k−p} を生成する。
• 均衡測度 μ を μ = T₊ ∧ T₋ = τ₊^p ∧ τ₋^{k−p} として構成する。この測度は不変であり、エントロピーが log d に達する最大エントロピーを持つ。
• fⁿ のグラフと ℙ^k × ℙ^k 内の対角線 Δ の交わりを分析し、周期的点を fⁿ(z) = z の解として同定する。
• S = lim d⁻ⁿ ∑[Γₙ^{(j)}] を正規化されたグラフの列の極限として定義し、比較測度 μ′′Δ ≤ μΔ および μ′′Δ ≤ μ′Δ を構成する。
• 命題 5.13 を適用して、構成された測度 μ′′Δ の質量を 1−δ で下から抑え、μ への収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ^k 上のヘノン型自己同型写像における鞍点周期的点は、均衡測度 μ に関して等分布するか？
• RQ2 カレント理論的手段を用いて、任意次元 k ≥ 2 において周期的点の等分布を確立できるか？
• RQ3 グリーンカレント T₊ および T₋ は周期的点の等分布において果たす役割は何か？
• RQ4 不定性集合 I₊ および I₋ は力学系および不変測度の構成にどのように影響を与えるか？
• RQ5 この手法は、解析的部分多様体 L₊, L₋ に対して f⁻ⁿ(L₊) ∩ fⁿ(L₋) のような他の交差へ一般化可能か？

主な発見

• 正規化された数え上げ測度 d⁻ⁿ ∑_{a∈SPₙ^ε} δₐ は n → ∞ のとき弱収束して、均衡測度 μ に収束する。
• 均衡測度 μ = T₊ ∧ T₋ は、f および f⁻¹ に関して唯一の不変確率測度であり、エントロピーが log d に達する最大エントロピーを持つ。
• 接カレントを用いて構成された比較測度 μ′′Δ の質量は、任意の δ > 0 に対して 1−δ で下から抑えられ、μ への収束が保証される。
• 極限カレント 𝕊 は、局所的に安定多様体と不安定多様体の積としてのラメに台を持つ。これは、測度 μ の双曲的構造を反映している。
• この手法はより一般の交差へも適用可能であり、適切な横断的条件の下で、f⁻ⁿ(L₊) ∩ fⁿ(L₋) の点は測度 μ に関して等分布する。
• 密度論およびカレントの弱交差の理論により、任意の数の安定・不安定方向を有する非一様双曲的状況においても等分布結果が得られる。