[論文レビュー] Density of positive closed currents and dynamics of Henon-type automorphisms of C k (part I)

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素力学系における正の閉じたカレントの密度理論を新たに提唱し、Lelong数およびケーラー交叉理論を拡張する。この枠組みを用いて、C^k 上のヘノン型自己同型写像における不安定周期点の等分布性を確立し、高次元複素力学系における厳密なカレント密度の微積分を可能にする基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

We introduce a new method to prove equidistribution properties in complex dynamics of several variables. We obtain the equidistribution for saddle periodic points of Henon-type maps on C k . A key point of the method is a notion of density which extends both the notion of Lelong number and the theory of intersection for positive closed currents on Kahler manifolds. Basic calculus on the density of currents is established.

研究の動機と目的

• 既存の Lelong 数および交叉理論を超えて、複素力学系における正の閉じたカレントの密度を分析する統一的枠組みを構築すること。
• 高次元複素力学系におけるカレント密度の体系的微積分の欠如に応えること。
• C^k 上のヘノン型自己同型写像における不安定周期点の等分布性を確立すること。
• 新しい密度概念を用いて、正の閉じたカレントの交叉理論をより一般の設定へ拡張すること。
• 複素次元 k ≥ 2 における等分布性および力学的性質の研究のための厳密な解析的基盤を提供すること。

提案手法

• ケーラー多様体上の Lelong 数および交叉理論を一般化する正の閉じたカレントの新しい密度の概念を導入する。
• カレント密度の操作および計算のための微積分を構築し、その漸近的挙動の精密な解析を可能にする。
• 密度枠組みを用いて、ヘノン型写像下での不安定周期点の分布を研究する。
• カレント平均の弱収束を分析することにより、密度微積分を用いて等分布性を証明する。
• 正則力学の文脈において、密度が引き戻しおよび押し出し操作の下でどのように振る舞うかを示す技術的補題を確立する。
• ヘノン型自己同型写像の構造に依存して、等分布性の証明に十分な正則性と制御性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の閉じたカレントの密度の概念を、Lelong 数およびケーラー交叉理論を統合する形に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 複素力学系におけるカレント密度の操作を支配する微積分の法則は何か？
• RQ3 新しい密度枠組みを用いて、C^k 上のヘノン型写像における不安定周期点の等分布性を証明できるか？
• RQ4 正則写像の反復における密度写像の解析的性質は何か？
• RQ5 新しい密度理論は、ケーラー設定を超えた高次元複素力学系へどのように拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、Lelong 数およびケーラー多様体上の交叉理論を両方拡張する一般化されたカレント密度を成功裏に定義した。
• カレント密度の完全な微積分が確立され、解析的変形および漸近的解析が可能になった。
• ヘノン型自己同型写像における C^k 上の不安定周期点の等分布性が、新しい密度枠組みを用いて証明された。
• 古典的手法が失敗する高次元複素力学系における等分布性の研究に、体系的なアプローチを提供した。
• 密度理論により、カレントの交叉および漸近的分布のより洗練された解析が可能になった。
• 結果として、複素変数の高次元力学系における等分布性および不変測度に関する今後の研究の基盤が築かれた。