[論文レビュー] On Koszul duality for Kac-Moody groups

Roman Bezrukavnikov, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、Kac-Moody群 G の旗多様体 G/B 上の B-不変混合複体の導来圏と、G∨/U∨ 上の B∨-モノドロミック混合複体の完成された導来圏の間で、モノイダル Koszul双対性の同値関係を確立する。双対性は、交差コホモロジー層を自由モノドロミックティルティング層に交換し、再編集合群の場合の先行結果を一般化するとともに、モノイダル構造を備えた Kac-Moody 環境へのティルティング版 Koszul双対性の拡張を実現する。

ABSTRACT

For any Kac-Moody group $G$ with Borel $B$, we give a monoidal equivalence between the derived category of $B$-equivariant mixed complexes on the flag variety $G/B$ and (a certain completion of) the derived category of $B^\vee$-monodromic mixed complexes on the enhanced flag variety $G^\vee/U^\vee$, here $G^\vee$ is the Langlands dual of $G$. We also prove variants of this equivalence, one of which is the equivalence between the derived category of $U$-equivariant mixed complexes on the partial flag variety $G/P$ and certain "Whittaker model" category of mixed complexes on $G^\vee/B^\vee$. In all these equivalences, intersection cohomology sheaves correspond to (free-monodromic) tilting sheaves. Our results generalize the Koszul duality patterns for reductive groups in the work of Beilinson, Ginzburg and Soergel .

研究の動機と目的

• 再編集合群から任意の Kac-Moody 群へ、ティルティング版 Koszul双対性を拡張すること。
• これらのカテゴリに十分な射影対象が存在しないという点を克服し、Kac-Moody 環境における不変およびモノドロミックカテゴリの間でモノイダル同値関係を確立すること。
• [BGS96] の双対性パターンを、射影対象の代わりにモノイダル構造に適したティルティング対象に置き換えることで一般化すること。
• 双対性の下で、交差コホモロジー層がティルティング層に正確に対応することを証明し、幾何学的および表現論的構造を保存すること。

提案手法

• G/B 上の B-不変混合複体の導来圏と、G∨/U∨ 上の B∨-モノドロミック混合複体の導来圏の完成化との間で、関手 Φ を通じたモノイダル同値関係を構成すること。
• Kac-Moody 群およびその旗多様体の無限次元性を扱うために、導来圏の DG モデルを用いること。
• 平均化関手、特に avχ および V を用いて、パラボリックおよび Whittaker カテゴリを関連させ、双対性関手を構成すること。
• プロ対象およびフィルター付き三角圏を用いた完備化を導入することで、ind-スキームおよび非コンパクト性を扱うこと。
• 強化された旗多様体設定における自由モノドロミックティルティング層およびその性質の理論を適用すること。
• 関手 Φ が t-構造を保存し、標準的および余標準的層をそれぞれ双対的対応に写すこと、IC 層がティルティング層に写ることを確認することで、双対性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影対象が十分に存在しない状況において、Koszul 双対性を再編集合群から Kac-Moody 群へどのように一般化できるか。
• RQ2 モノイダル構造を保存する Kac-Moody 環境における Koszul 双対性の正しい定式化は何か。
• RQ3 この一般化された設定において、交差コホモロジー層は双対性の下でどのように対応するか。
• RQ4 Whittaker/パラボリック-Whittaker 双対性のバリエーションを、モノドロミックカテゴリを用いて Kac-Moody 群へ拡張できるか。
• RQ5 自由モノドロミックティルティング層は双対性においてどのような役割を果たし、モノイダル文脈において射影対象に代わる役割を果たすか。

主な発見

• G/B 上の B-不変混合複体の導来圏と、G∨/U∨ 上の B∨-モノドロミック混合複体の導来圏の完成化との間で、モノイダル同値関係が確立された。
• 双対性の下で、G/B 上の交差コホモロジー層は、G∨/U∨ 上の自由モノドロミックティルティング層に正確に対応する。
• 同値関係はパラボリックおよび Whittaker カテゴリへ拡張可能であり、G/P 上の U-不変複体と G∨/B∨ 上の Whittaker 型複体との間で、変種の同値関係が成立する。
• Lefschetz および Picard-Lefschetz sl(2) 代数の作用と両立され、古典的 Koszul 双対性の幾何的特徴を一般化する。
• DG モデルおよび完備化の使用により、Kac-Moody 旗多様体の無限次元性にもかかわらず、形式的体系が厳密に定義可能であることが確認された。
• この構成により、[BG99] における予想が Kac-Moody 環境で実現され、ティルティング版双対性がモノイダル関手として実現された。