[論文レビュー] Erd\H{o}s-Burgess constant of commutative semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、可換半群、特に巡回半群の直積であるような半群 𝑆 におけるErdős-Burgess定数 I(𝑆) を調査する。I(𝑆) が有限であるための必要十分条件を確立し、鋭い上限と下限を提示し、有限アーベル群におけるDavenport定数に関する古典的結果を統合・拡張する。

ABSTRACT

Let $\\mathcal{S}$ be a nonempty commutative semigroup written additively. An element $e$ of $\\mathcal{S}$ is said to be idempotent if $e+e=e$. The Erd\\H{o}s-Burgess constant of the semigroup $\\mathcal{S}$ is defined as the smallest positive integer $\\ell$ such that any $\\mathcal{S}$-valued sequence $T$ of length $\\ell$ contain a nonempty subsequence the sum of whose terms is an idempotent of $\\mathcal{S}$. We make a study of ${\ m I}(\\mathcal{S})$ when $\\mathcal{S}$ is a direct product of arbitrarily many of cyclic semigroups. We give the necessary and sufficient conditions such that ${\ m I}(\\mathcal{S})$ is finite, and in particular, we obtain sharp bounds of ${\ m I}(\\mathcal{S})$ in case ${\ m I}(\\mathcal{S})$ is finite, and determine the precise values of ${\ m I}(\\mathcal{S})$ in some cases which unifies some well known results on the precise values of Davenport constant in the setting of commutative semigroups.

研究の動機と目的

• 可換半群 𝑆 におけるErdős-Burgess定数 I(𝑆) を特徴づけること、特に 𝑆 が巡回半群の直積である場合に焦点を当てる。
• I(𝑆) が有限であるための必要十分条件を特定すること。
• I(𝑆) が有限である場合の鋭い上界および下界を導出すること。
• 有限アーベル群におけるDavenport定数に関する既知の結果を、可換半群の文脈に一般化することで統合・拡張すること。
• 特に、𝑆 が有限個の巡回半群の積であるような特定の状況において、I(𝑆) の正確な値を特定すること。

提案手法

• Erdős-Burgess定数 I(𝑆) を、半群 𝑆 内の冪等元和自由列 𝑇 について |𝑇|+1 の上界として定義する。
• 各成分が n_i > 1 のとき nilsemigroup となるような、巡回半群 𝒞_{k_i;n_i} の直積の構造を分析する。
• 各成分の n_i > 1 のものと、n_i = 1 のものから最大の k_i を持つ1つの代表元から生成される部分半群 𝒮′ への単射準同型 ι: 𝒮′ → 𝒮 を用いて、問題を 𝒮′ に還元する。
• 補題3.5 を適用し、部分列におけるインデックスの和を冪等元和条件に関連づけ、特に ceiling 関数 ⌈k_i/n_i⌉ を用いる。
• 𝑆 に属する列 T から 𝒮′ に属する列 T̃ への変換 T ↦ T̃ を構成し、冪等元和自由性を保つ。
• ι による 𝒮′ の像との同型性を活用して I(𝑆) と I(𝒮′) を比較し、有限性の条件下で I(𝑆) = I(𝒮′) を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換半群 𝑆 が巡回半群の直積である場合、Erdős-Burgess定数 I(𝑆) が有限であるための条件は何か？
• RQ2 I(𝑆) が有限である場合、その鋭い上界および下限は何か？
• RQ3 I(𝑆) が群成分 G_𝑆 のDavenport定数に加えて、冪等元構造に依存する補正項を持つのはどのような場合か？
• RQ4 どのような状況で I(𝑆) の正確な値を特定できるか、特に 𝑆 が有限個の巡回半群の積である場合に焦点を当てる。
• RQ5 可換半群の文脈において、Erdős-Burgess定数は、有限アーベル群における古典的Davenport定数をどのように一般化するか？

主な発見

• Erdős-Burgess定数 I(𝑆) が有限であることは、n_i > 1 を満たす成分の数が有限であり、かつ n_i = 1 を満たす成分における k_i の上界が有限であるときにかつそのときに限り成り立つ。
• I(𝑆) が有限であるとき、I(𝑆) = I(𝒮′) が成り立つ。ここで 𝒮′ は、n_i > 1 を満たす成分と、n_i = 1 を満たす成分から最大の k_i を持つ1つの代表元からなる縮約された半群である。
• 有限個の巡回半群の直積 𝒮 = 𝒞_{k_1;n_1} × ⋯ × 𝒞_{k_r;n_r} に対して、Erdős-Burgess定数は I(𝑆) = max_i{(⌈k_i/n_i⌉−1)n_i} + D(G_𝑆) で与えられる。ここで D(G_𝑆) は群 G_𝑆 のDavenport定数である。
• 特に、すべての k_i = 1 である場合、半群 𝑆 は有限アーベル群 ℤ_{n_1} ⊕ ⋯ ⊕ ℤ_{n_r} に一致し、このとき公式は I(𝑆) = 1 + ∑_{i=1}^r (n_i − 1) に簡略化され、これは定理Dを回復する。
• 公式 I(𝑆) = max_i{(⌈k_i/n_i⌉−1)n_i} + 1 + ∑_{i=1}^r (n_i − 1) が正確に成り立つのは、r = 1、または r = 2 かつ n_i の間に整除関係がある場合、または ∏n_i が素数の冪である場合に限る。
• 証明により、𝑆 内の任意の冪等元和自由列は、長さを増加させることなく 𝒮′ 内の冪等元和自由列に写像可能であり、これにより I(𝑆) の値が保存されることが示された。