[論文レビュー] Euclidean geometry as algorithm for construction of generalized geometries

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Nov 23, 2005

Mathematics and Applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド幾何の世界関数を変形することによって、相対論的または量子的類似の時空といった一般化された幾何を構成する新しい手法を提案する。ユークリッドの世界関数を修正したものに置き換えることで、すべての幾何的構成がユークリッドのアルゴリズムから論理的構造を引き継ぎ、質量に依存する確率的粒子運動を自然に示す決定論的幾何が得られる。歪みパラメータを $ d = \hbar/(2bc) $ に設定すると、この確率的性質の統計的記述はシュレーディンガー方程式を再現し、量子原理を仮定せずに量子現象の幾何的基盤を提供する。

ABSTRACT

It is shown that the generalized geometries may be obtained as a deformation of the proper Euclidean geometry. Algorithm of construction of any proposition S of the proper Euclidean geometry E may be described in terms of the Euclidean world function sigma_E in the form S(sigma_E). Replacing the Euclidean world function sigma_E by the world function sigma of the geometry G, one obtains the corresponding proposition S(sigma) of the generalized geometry G. Such a construction of the generalized geometries (known as T-geometries) uses well known algorithms of the proper Euclidean geometry and nothing besides. This method of the geometry construction is very simple and effective. Using T-geometry as the space-time geometry, one can construct the deterministic space-time geometries with primordially stochastic motion of free particles and geometrized particle mass. Such a space-time geometry defined properly (with quantum constant as an attribute of geometry) allows one to explain quantum effects as a result of the statistical description of the stochastic particle motion (without a use of quantum principles).

研究の動機と目的

• ユークリッド幾何に基づく一般化幾何を体系的かつアルゴリズム的に構成する方法を開発すること。
• 量子の確率的性質を量子原理を仮定せずに説明する基礎的問題を解決すること。
• 粒子の運動が本質的に確率的であり、その確率的性質が粒子の質量に依存する決定論的時空幾何を構築すること。
• シュレーディンガー方程式がこの幾何的確率的性質の統計的極限として導かれるかどうかを示すこと。
• 量子力学の便宜的仮定を、時空構造に基づく幾何的基盤に置き換えること。

提案手法

• 点集合ではなく、距離の二乗の半分として定義される世界関数 $ \sigma $ を、幾何の基本対象として用いる。
• ユークリッド幾何におけるすべての幾何的構成を、ユークリッドの世界関数 $ \sigma_{\mathrm{E}} $ に作用するアルゴリズムとして再定式化する。
• 一般化幾何は、$ \sigma_{\mathrm{E}} $ を新しい世界関数 $ \sigma $ に置き換えることで得られ、アルゴリズム的構造を保持する。
• 得られる幾何、すなわちT-幾何は決定論的であるが、時空の歪みにより粒子軌道に内在的な確率的性質を示す。
• 歪みパラメータ $ d $ は、$ d = \hbar/(2bc) $ によって量子定数と関連づけられ、幾何と量子力学を結びつける。
• この幾何における確率的粒子軌道の統計的平均化は、シュレーディンガー方程式を再現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一貫したアルゴリズム的枠組みを用いて、ユークリッド幾何から一般化幾何を構成できるか？
• RQ2 量子系に特徴的な確率的粒子運動は、決定論的時空幾何からどのように生じるか？
• RQ3 粒子の質量が、幾何的枠組み内での自由粒子運動における確率的性質の度合いに果たす役割は何か？
• RQ4 シュレーディンガー方程式は、粒子運動の決定論的幾何モデルの統計的極限として導けるか？
• RQ5 量子定数 $ \hbar $ は、時空の内在的性質として幾何的解釈が可能か？

主な発見

• 世界関数 $ \sigma $ はユークリッド幾何の構造を完全に決定し、唯一の基本的幾何的対象となる。
• $ \sigma_{\mathrm{E}} $ を歪んだ世界関数 $ \sigma_{\mathrm{d}} $ に置き換えることで、ユークリッドのすべてのアルゴリズムを保持する一般化幾何 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ が生成される。
• 歪んだ幾何 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ において、自由粒子の世界線は質量 $ \mu_{\mathrm{d}} $ と歪み $ d $ に依存する特徴的な角度 $ \vartheta_{\mathrm{dM}} \approx \sqrt{2d}/\mu_{\mathrm{d}} $ を持つランダムな揺らぎを示す。
• $ d = \hbar/(2bc) $ のとき、 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 内の確率的粒子運動の統計的記述はシュレーディンガー方程式を再現する。
• 得られるモデル、すなわち量子現象のモデル的解釈（MCQP）は、相対論的に不変であり、量子理論の幾何的基盤を提供する。
• ミンコフスキー幾何は $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ の極限的ケースではあるが、$ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ のほうがより基本的であり、自然に量子的類似の振る舞いを組み込める。