[論文レビュー] Exel's crossed product and crossed products by completely positive maps

B. K. Kwaśniewski|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 41被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、完全正の写像を用いたC*-代数の一般化された交差積構成を導入し、エクセルの交差積と自己準同型によるクンツ型交差積を統一する。エクセルの交差積 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ が、理想 $ \alpha(A) $ に関する転送作用素 $ \mathcal{L} $ による交差積に等価であることを証明し、任意の無限グラフのC*-代数が、自己準同型が存在しない場合でも、ペロン＝フロベニウス作用素による交差積として実現可能であることを示す。

ABSTRACT

We introduce crossed products of a $C^*$-algebra $A$ by a completely positive map $\varrho:A o A$ relative to an ideal in $A$. They generalize various crossed products by endomorphisms when $\varrho$ is multiplicative. When $A$ is commutative they include $C^*$-algebras associated to Markov operators by Ionescu, Muhly, Vega, and to topological relations by Brenken, but in general they are not modeled by topological quivers popularized by Muhly and Tomforde. We show that Exel's crossed product $A times_{α,L} \mathbb{N}$, generalized to the case where $A$ is not necessarily unital, is the crossed product of $A$ by the transfer operator $L$ relative to the ideal generated by $α(A)$. We give natural conditions under which $α(A)$ is uniquely determined by $L$, and hence $A times_{α,L} \mathbb{N}$ depends only on $L$. Moreover, the $C^*$-algebra $\mathcal{O}(A,α,L)$ associated to $(A,α,L)$ by Exel and Royer always coincides with our unrelative crossed product by $L$. As another non-trivial application of our construction we extend a result of Brownlowe, Raeburn and Vittadello, by showing that the $C^*$-algebra of an arbitrary infinite graph $E$ can be realized as a crossed product of the diagonal algebra $\mathcal{D}_E$ by a `Perron-Frobenious' operator $L$. The important difference is that in general there is no endomorphism $α$ of $\mathcal{D}_E$ making $(\mathcal{D}_E,α,L)$ an Exel system.

研究の動機と目的

• 自己準同型（クンツ型）によるC*-代数の交差積理論と、転送作用素（エクセル型）による理論の2つの主要な流れを統一すること。
• エクセルの交差積を非単位的C*-代数へ一般化し、自己準同型の像に関する転送作用素による交差積として得られることを示すこと。
• 任意の無限グラフのC*-代数が、適合する自己準同型が存在しない場合でも、対角代数のペロン＝フロベニウス作用素による交差積として実現可能であることを示すこと。
• エクセル系と新しい交差積構成との関係を明確にし、転送作用素が自己準同型を一意に決定する条件を同定すること。

提案手法

• C*-代数 $ A $ と完全正の写像 $ \varrho $ およびその理想 $ J \subseteq A $ に対する相対的交差積 $ C^*(A, \varrho; J) $ を定義する。
• 非相対的交差積を $ C^*(A, \varrho) = C^*(A, \varrho; N_\varrho^\perp) $ と定義する。ここで $ N_\varrho $ は $ \ker \varrho $ の中で最大の理想である。
• やや弱い条件下で、エクセルの交差積 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ が、理想 $ \alpha(A) $ に関する $ \mathcal{L} $ の交差積に等しいことを示す。
• グラフ代数を交差積として実現するために、$ (\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ の厳密収束マルチプライヤ表示 $ (\mathrm{id}, u_\lambda) $ を構成する。ここで $ u_\lambda = \sum_{e} \sqrt{\lambda_e} s_e $ である。
• $ C^*(\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ から $ C^*(E) $ への $^*$-準同型を、$ N_\mathcal{L}^\perp \cap J(X_\mathcal{L}) \subseteq \overline{\mathcal{D}_E u_\lambda \mathcal{D}_E u_\lambda^*} $ という共変性条件により確立する。
• ガウジ作用と交差積構成の一意性を用いて、その準同型が同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エクセルの交差積 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ は、理想 $ \alpha(A) $ に関する完全正の写像 $ \mathcal{L} $ による交差積として特徴づけられるか？
• RQ2 自己準同型 $ \alpha $ が転送作用素 $ \mathcal{L} $ によって一意に決定される条件は何か？
• RQ3 任意の無限グラフのC*-代数は、その背後にある自己準同型が存在しない場合でも、対角代数の転送作用素による交差積として実現可能か？
• RQ4 新しい交差積構成は、相対的クンツ＝ピムズナー代数やシュバイザーの完全正の写像による交差積といった既存の枠組みとどのように関係しているか？

主な発見

• エクセルの交差積 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ は、理想 $ \alpha(A) $ に関する転送作用素 $ \mathcal{L} $ による交差積に同型であり、非単位的代数へ一般化される。
• $ \mathcal{O}(A,\alpha,\mathcal{L}) $ としてエクセルとロイヤーが定義したC*-代数は、非相対的交差積 $ C^*(A,\mathcal{L}) $ に一致し、従来の構成と整合的であることが示された。
• 任意の無限グラフ $ E $ に対して、グラフC*-代数 $ C^*(E) $ は $ C^*(\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ に同型であり、ここで $ \mathcal{L} $ は $ \mathcal{L}(a) = u_\lambda a u_\lambda^* $ で定義されるペロン＝フロベニウス作用素である。自己準同型 $ \alpha $ が存在しない場合でも同型が成り立つ。
• 理想 $ N_\mathcal{L}^\perp \cap J(X_\mathcal{L}) $ は $ \alpha(\mathcal{D}_E)\mathcal{D}_E $ に等しく、共変性条件が成立するのは $ \mathcal{L} $ が正則な転送作用素である場合に限ることを示した。
• グラフ $ E $ に無限出力点が存在しない場合、作用素 $ u_\lambda = \sum_e \sqrt{\lambda_e} s_e $ はノルム収束する。このとき、交差積 $ C^*(\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ は写像 $ a \mapsto a $, $ as \mapsto a u_\lambda $ によって $ C^*(E) $ に同型である。
• 自己準同型 $ \alpha $ が $ (\mathcal{D}_E, \alpha, \mathcal{L}) $ をエクセル系にするならば、$ \alpha(a) = \sum_e s_e a s_e^* $ で与えられ、かつ $ E $ は局所的に有限で出力点を持たない必要がある。