[論文レビュー] Existence and multiplicity results for Brezis-Nirenberg type fractional Choquard equation

Tuhina Mukherjee, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分数ラプラシアンとハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ臨界非線形項を含む、ブレジス＝ニレントバーグ型の分数チョクラード方程式の解の存在および多重性を調査する。変分法を用いて、特にパラメータλが臨界閾値未満のとき、非自明な解の存在を確立する。

ABSTRACT

In this article, we study the Brezis-Nirenberg type problem of nonlinear Choquard equation involving a fractional Laplacian \[ (-\De)^s u = \left( \int_{\Om}\frac{|u|^{2^*_{\mu,s}}}{|x-y|^{\mu}}\mathrm{d}y ight)|u|^{2^*_{\mu,s}-2}u +\la u \; ext{in } \Om,\] where $\Om $ is a bounded domain in $\mathbb R^n$ with $C^{1,1}$ boundary, $\la $ is a real parameter, $s \in (0,1)$, $n >2s$ and $2^*_{\mu,s}= (2n-\mu)/(n-2s)$ is the critical exponent in the sense of Hardy-Littlewood-Sobolev inequality. We obtain some existence and multiplicity results for solution of the above equation using variational methods.

研究の動機と目的

• 有界領域ΩでC^{1,1}境界を有する設定において、分数ラプラシアンを含む非線形チョクラード方程式のブレジス＝ニレントバーグ型問題を研究すること。
• パラメータλが解の存在および多重性に与える影響を分析すること。
• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式に由来する臨界指数$2^*_{\rho,s} = (2n - \mu)/(n - 2s)$の役割を解明すること。
• 特異的で非局所的な積分非線形項を有する分数非局所設定への変分法の拡張を試みること。
• 非自明な解が存在し、かつそれが複数存在するための条件を確立すること。

提案手法

• 弱解の解析に、特に臨界点理論を用いた変分法を採用する。
• 分数ラプラシアンと境界条件がゼロである場合の自然な関数空間$H^s_0(\Omega)$を用いる。
• 非局所項$\int_{\Omega} \frac{|u|^{2^*_{\mu,s}}}{|x-y|^\mu} dy$の適切な定義を保証するため、ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式を用いる。
• 臨界指数の場合のコンパクト性の欠如を克服するため、集中・compact性の原理とコンパクト埋め込みを適用する。
• 方程式に関連するエネルギー汎関数を解析し、マウンテンパス補題や他の変分的ツールを用いて臨界点の存在を証明する。
• パラメータ$\lambda$が特定の閾値未満である場合、少なくとも1つの非自明な解が存在することを示し、追加の幾何的または対称性条件のもとで複数の解が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数チョクラード方程式がブレジス＝ニレントバーグ型非線形性を有する場合、どのような条件下で少なくとも1つの非自明な解が存在するか？
• RQ2 パラメータ$\lambda$は、臨界指数領域における解の存在および多重性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 分数階数$s \in (0,1)$は、方程式の可解性にどのような役割を果たすか？
• RQ4 ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ積分を含むこの非局所的・非線形な問題に、変分法を効果的に適用できるか？
• RQ5 パラメータ$\lambda$が分数ラプラシアンの第一固有値未満の範囲にある場合、複数の解が存在するか？

主な発見

• パラメータ$\lambda$が特定の臨界閾値未満である場合、分数チョクラード方程式に対して非自明な弱解が存在する。
• 臨界指数$2^*_{\mu,s} = (2n - \mu)/(n - 2s)$は、ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式に由来し、非線形項の成長を支配する。
• 変分法の適用により、チョクラード項の非局所性にもかかわらず、存在結果を証明できる。
• 境界が$C^{1,1}$である有界領域$\Omega \subset \mathbb{R}^n$は、解析に十分な正則性を保証する。
• パラメータ$\lambda$に適切な条件が満たされると、特に$(-\Delta)^s$の第一固有値未満である場合、解の集合は多重性を示す。
• 本研究の結果は、古典的なブレジス＝ニレントバーグの結果を、非局所的かつ畳み込み型非線形性を有する分数的設定へと拡張する。