[論文レビュー] Existence and symmetry result for Fractional p-Laplacian in $\mathbb{R}^{n}$

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Cerami条件を満たす山脈定理を用いて、$ℝ^n$ 上の分数階pラプラシアン方程式にポテンシャル項と臨界的でない、非線形性が強い非線形項を含む場合に、非自明な弱解の存在を確立する。さらに、対称的減少再配分と分数階ソボレフ空間におけるポリヤ＝ツェゴーの不等式を用いて、この解が回転対称であることを証明する。

ABSTRACT

In this article we are interested in the following fractional $p$-Laplacian equation in $\mathbb{R}^n$ \begin{eqnarray*} &(-Δ)_{p}^αu + V(x)u^{p-2}u = f(x,u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{n}, \end{eqnarray*} where $p\geq 2$, $0< s < 1$, $n\geq 2$ and subcritical p-superlinear nonlinearity. By using mountain pass theorem with Cerami condition we prove the existence of nontrivial solution. Furthermore, we show that this solution is radially simmetry.

研究の動機と目的

• 分数階pラプラシアン方程式にポテンシャル項と臨界的でない、非線形性が強い非線形項を含む、$ℝ^n$ 上での非自明な弱解の存在を確立すること。
• 得られた解の対称性特性を分析し、特に回転対称性を証明すること。
• 特にCerami条件を満たす山脈定理を、非局所的かつ非線形な分数階pラプラシアンの設定に拡張すること。
• 対称的減少再配分技法を用いて、解のエネルギー関数が再配分された回転対称なバージョンによって最小化されることを示すこと。
• エネルギー関数が、分数階ソボレフ空間$X^s$における臨界点理論に必要なコンパクト性および幾何的条件を満たしていることを検証すること。

提案手法

• 分数階ソボレフ空間$X^s = \{u \in W^{s,p}(\mathbb{R}^n) : \int_{\mathbb{R}^n} V(x)|u|^p dx < \infty\}$において問題を定式化し、ノルム$\|u\|_{X^s} = \left( [u]_{s,p}^p + \|V^{1/p}u\|_p^p \right)^{1/p}$を備える。
• エネルギー関数$I(u) = \frac{1}{p}\|u\|_{X^s}^p - \int_{\mathbb{R}^n} F(x,u) dx$を定義し、ここで$F(x,t) = \int_0^t f(x,s) ds$であり、与えられた仮定のもとで$C^1$であることを示す。
• 山脈定理の幾何的性質が満たされることを確認する：$I(0) = 0$であり、ある$\rho, \alpha > 0$が存在して$\|u\|_{X^s} = \rho$のとき$I(u) \geq \alpha$であり、またある$e$が$\|e\|_{X^s} > \rho$を満たして$I(e) < 0$である。
• 任意の$(C)_c$列が収束部分列を持つことを保証するCerami条件を適用し、山脈定理の適用を可能にする。
• 対称的減少再配分$u^*$を用いて、すべての$u \in X^s$に対して$I(u^*) \leq I(u)$が成り立つことを示し、分数階ポリヤ＝ツェゴーの不等式と$V$の回転対称性を活用する。
• 再配分された経路に対してエケランドの変分原理を適用し、臨界点に収束するCerami列を抽出する。この臨界点は回転対称であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階pラプラシアン方程式$(-\Delta)_p^s u + V(x)u^{p-2}u = f(x,u)$が$ℝ^n$で非自明な弱解をもつための条件は何か？
• RQ2 Cerami条件を満たす山脈定理は、非有界領域における分数階pラプラシアンに関連するエネルギー関数にうまく適用可能か？
• RQ3 与えられた$f$および$V$に関する仮定のもとで、変分法によって得られた解は回転対称性を有するか？
• RQ4 分数階ソボレフ空間の文脈において、対称的減少再配分はエネルギー関数にどのように影響するか？
• RQ5 ポテンシャル$V(x)$が正で回転対称的に増加すると仮定する場合、解の対称性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 分数階pラプラシアン方程式に関連するエネルギー関数$I$は、山脈定理の幾何的性質とCerami条件を満たし、非自明な臨界点の存在を保証する。
• 仮定$(V)$、$(f_1)$–$(f_3)$のもとで、山脈定理により方程式$(-\Delta)_p^s u + V(x)u^{p-2}u = f(x,u)$が$ℝ^n$で非自明な弱解をもつことが保証される。
• 山脈手続きによって得られた解は、対称的減少再配分と分数階ポリヤ＝ツェゴーの不等式を用いることで回転対称であることが示された。
• 再配分された関数は$I(u^*) \leq I(u)$を満たし、等号が成り立つのは$u$が既に回転対称的かつ非増大である場合に限る。これは最小化子が対称的でなければならないことを示唆する。
• エケランドの原理により抽出されたCerami列は、$X^s$上で強収束し、臨界点$w$に収束する。このとき$I(w) = c$かつ$I'(w) = 0$である。これは非自明な解の存在を確認する。
• 解の回転対称性は、$V(x)$の回転構造と再配分がエネルギーを減少させるという事実により保たれる。これは最小化子が対称的でなければならないことを示唆する。