[論文レビュー] Existence of almost free abelian groups and reflection of stationary set

Saharon Shelah|ArXiv.org|Jun 15, 1996

Advanced Topology and Set TheoryMathematics被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、強制法と反映原理を用いて、アレフ関数の最初の不動点未満のほぼ自由なアーベル群の存在を確立する。非反映性に関する静的集合の反例を解消し、NPT（非正規横断）性質が推移的でないことを示し、弱いコンパクト基数の下で反復強制法を用いて一貫性結果を得る。

ABSTRACT

section 2: We answer a question of Mekler Eklof on the closure operations of the incompactness spectrum. We answer a question of Foreman and Magidor on reflection of stationary subsets of S_{< aleph_2}(lambda) = {a subseteq lambda : |a| < aleph_2}]. section 3 - NPT is not transitive. We prove NPT(lambda, mu) + NPT(mu, kappa) not => NPT(lambda, kappa)

研究の動機と目的

• アレフ関数の最初の不動点未満のλに対して、λ-自由だが自由でないアーベル群の存在を確立すること。
• フォーマンとマジドルが提起した、S<ℵ₂(λ) の静的部分集合の反映に関する問題を解決すること。
• メクラーとエクロフが提起した、非コンパクトスケールにおける閉包作用素に関する問題に答えること。
• NPT（非正規横断）性質が、NPT(λ,μ) と NPT(μ,κ) を仮定しても、推移的でないことを示すこと。
• NPT(λ,μ) と NPT(μ,ℵ₀) が成り立つが NPT(λ,ℵ₀) が成り立たないモデルを、非反映性を持つ静的集合を用いた強制法で構成すること。

提案手法

• S ⊆ {δ < λ : cf(δ) = κ} である非反映性を持つ静的部分集合を用いた強制法を用い、反映性を破壊しながらNPT性質を保存すること。
• エイストンの支援と ℵ₀-コーエン強制法を用いた反復強制法により、NPT(λ,ℵ₀) が成り立たないが NPT(λ,μ) と NPT(μ,ℵ₀) が成り立つモデルを構成すること。
• 理想 J^bd_κ と ∏_{i<κ} λ_i / J における列 ⟨f_α : α < μ⟩ を用いて、良い点、悪い点、混沌点を定義すること。
• <_J-eub（J を法とする正確な上界）の概念を用いて、列が横断を持つときの特徴づけを行うこと。
• 静的集合が非反映性を持つ静的集合と交わらない場合、かつ有界部分集合が追加されない場合、PT(λ,ℵ₀) が成り立つという原理を適用すること。
• Shelah の [Sh:355]、[Sh:161]、および [MgSh:204] の結果に依拠し、問題を既知の非コンパクト現象に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アレフ関数の最初の不動点未満のλに対して、自由でないがλ-自由なアーベル群が存在するか？
• RQ2 S<ℵ₂(λ) の静的部分集合は、反射しなくなる場合があり、どのような条件下でそうなるか？
• RQ3 NPT 性質は推移的か？すなわち、NPT(λ,μ) と NPT(μ,κ) が成り立つならば、NPT(λ,κ) が成り立つか？
• RQ4 NPT(λ,μ) と NPT(μ,ℵ₀) が成り立つが NPT(λ,ℵ₀) が成り立たないモデルを、2つの弱いコンパクト基数の存在の仮定の下で構成できるか？
• RQ5 非反映性を持つ静的集合は、アーベル群の構成における横断の存在を保存するか、破壊するかに果たす役割は何か？

主な発見

• α = ℵ_α が α > ℵ₀ を満たす最初の不動点であるとき、λ < α に対して、自由でないがλ-自由なアーベル群が存在し、[Sh:161] のZFC結果を確認する。
• この論文は、NPT(λ,μ) と NPT(μ,ℵ₀) が成り立つからといって NPT(λ,ℵ₀) が成り立つとは限らないことを証明し、NPT 性質が推移的でないことを示している。
• NPT(λ,μ) と NPT(μ,ℵ₀) が成り立つが NPT(λ,ℵ₀) が成り立たないモデルを、{δ < λ : cf(δ) = κ} の非反映性を持つ静的部分集合を追加する強制法を用いて構成している。
• この失敗の一貫性は、ℵ₀ より大きい2つの弱いコンパクト基数の存在を仮定することで確立されている。
• この方法は PT(κ,ℵ₀) を保存し、λ の有界部分集合が追加されないため、一般化拡大においても非コンパクト性が維持される。
• この結果は、静的集合が非反映性を持つ静的集合と交わらず、かつ有界部分集合が追加されない場合、PT(λ,ℵ₀) が成り立つという事実に依拠しており、強制拡大においてもそれが保存される。