[論文レビュー] Existence of constant mean curvature 2-spheres in Riemannian 3-spheres

Da Rong Cheng, Xin Zhou|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意のリーマン多様体3次元球面において、ほぼすべての prescribed mean curvature H > 0 に対して、分岐した浸漬された定常平均曲率（CMC）2次元球面の存在を確立する。正のリッチ曲率をもつ3次元球面では、すべての H > 0 に対して同様の結果が成り立つ。著者らは、重み付きディリクレエネルギー関数に対する新しいミニマックススキームを構築し、2次調和近似、ミニマックス値の微分推定、モース指数の境界を用いてコンパクト性とエネルギー制御を達成する。

ABSTRACT

We prove the existence of branched immersed constant mean curvature 2-spheres in an arbitrary Riemannian 3-sphere for almost every prescribed mean curvature, and moreover for all prescribed mean curvatures when the 3-sphere is positively curved. To achieve this, we develop a min-max scheme for a weighted Dirichlet energy functional. There are three main ingredients in our approach: a bi-harmonic approximation procedure to obtain compactness of the new functional, a derivative estimate of the min-max values to gain energy upper bounds for min-max sequences for almost every choice of mean curvature, and a Morse index estimate to obtain another uniform energy bound required to reach the remaining constant mean curvatures in the presence of positive curvature.

研究の動機と目的

• 任意のリーマン多様体3次元球面において、トポロジーが制御された閉じた分岐した浸漬されたCMC 2次元球面の一般的かつ存在理論を確立すること。
• 既知のケース H = 0 および非常に大きな H 以外の、中間的な平均曲率 H > 0 に対してCMC 2次元球面を構成するという未解決問題を解決すること。
• リッチ曲率が正である3次元球面において、すべての H > 0 に対して分岐した浸漬されたCMC 2次元球面の存在を確認するローゼンバーグ＝スミスの予想を証明すること。
• 3次元球面における最小曲面のSacks-Uhlenbeckミニマックス理論をCMC設定に拡張すること。

提案手法

• CMC曲面を変分法によって構成するために、重み付きディリクレエネルギー関数に対するミニマックススキームを構築すること。
• 新しい関数に対してミニマックス列のコンパクト性を保証するため、2次調和近似手順を実装すること。
• ミニマックス値の微分推定を導出し、ほぼすべての H > 0 に対して一様なエネルギー上界を取得すること。
• 極限曲面の指数を制御し、正のリッチ曲率が存在する場合の追加のエネルギー上界を取得するために、モース指数推定を確立すること。
• CMC方程式 (1.1) と弱正則性条件 (1.2) を用いて、解を定数平均曲率 H をもつ分岐した埋め込みとして特徴付けること。
• ソボレフ不等式とピカール型推定を適用して、高階微分係数を制御し、ミニマックス構成における正則性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のリーマン多様体3次元球面内に、定数平均曲率 H > 0 をもつ分岐した浸漬された2次元球面が存在するか？
• RQ2 環境となる3次元球面が正のリッチ曲率をもつとき、そのようなCMC 2次元球面がすべての H > 0 に対して存在することが保証されるか？
• RQ3 曲率ピンチングに依存せずに、コンパクト性と一様なエネルギー上界を保証するCMC曲面のミニマックス構成を構築できるか？
• RQ4 Sacks-Uhlenbeckミニマックス理論が、3次元球面における最小曲面に適用される理論を、CMC設定にどの程度まで一般化できるか？

主な発見

• ほぼすべての H > 0 に対して、任意の S³ に微分同相なリーマン多様体3次元球面内に、非自明な分岐した浸漬された2次元球面が存在し、そのモース指数は1以下である。
• リーマン多様体3次元球面が正のリッチ曲率をもつとき、すべての H > 0 に対して、そのような分岐した浸漬されたCMC 2次元球面が存在することが保証される。
• 曲率条件を Ric_g > -H²/2 g というより弱い条件に緩和しても、同様の存在結果が成り立つ。
• 正のリッチ曲率の下では、構成されたCMC 2次元球面のモース指数は正確に1である。
• 微分推定とモース指数の制御により、ミニマックス構成が一様なエネルギー上界を達成し、非自明な解への収束を保証する。
• 本手法により、3次元球面における最小2次元球面のSacks-Uhlenbeck存在理論がCMC設定に一般化される。