[論文レビュー] Explicit partial and functional differential equations for beables or observables

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 17被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、制約付きハミルトニアン系における物理的観測可能量（beables）を特徴付ける、有限系に対する明示的偏微分方程式（PDE）および場理論に対する関数微分方程式（FDE）を導出する。特に、ディラックおよびクチャールのbeablesを扱い、一般相対性理論、ヤン・ミルズ理論、電磁気学を含む理論において、配置依存、運動量依存、混合依存の観測可能量を体系的に特定するフレームワークを提供する。主な結果として、純配置依存beablesは制約生成子から導かれるPDEを満たすが、純運動量および混合系の場合は、まだほとんど未解決の数学的問題のままである。

ABSTRACT

We provide explicit partial differential equations - in finite cases - and functional differential equations - in field-theoretic cases - which determine observables or beables in the senses of Kuchař and of Dirac. These cover a wide range of relational mechanics models as well as Electromagnetism, Yang--Mills Theory and General Relativity. We give an underlying reason why pure-configuration Kuchař observables are already well-known: various types of shape, E-fields, B-fields, loops and 3-geometries. The partial differential equations or functional differential equations for pure-momentum observables are also posed, as are those for observables which have a mixture of configuration and momentum functional dependence.

研究の動機と目的

• 制約付きハミルトニアン理論における物理的観測可能量（beables）を特徴付ける明示的偏微分方程式および関数微分方程式を導出すること。
• 一般相対性理論のような二次的制約を持つ系において、ディラック観測可能量とクチャール観測可能量の違いと関係を明確にすること。
• 配置依存、運動量依存、配置・運動量混合依存の観測可能量を体系的に特定する手法を提供すること。
• 形状、3次元幾何、E/B場など、配置変数のみに依存する既知の結果を、まだほとんど数学的に未開拓である運動量および混合系にまで拡張すること。
• 物理的観測可能量の古典的方程式を提供することで、量子重力における「時間の問題」と「beablesの問題」の解決に基礎を築くこと。

提案手法

• ポisson括弧条件を用いて、クチャールbeablesの有限次元PDEを導出する：∑_A { (∂C_C/∂Q^A)(∂B_B/∂P_A) − (∂C_C/∂P_A)(∂B_B/∂Q^A) } ≈ 0。
• スメアード制約と関数微分を用いて、場理論への形式の拡張を実現するFDEを導入する。
• 3次元計量と運動量変数をベクトル形式に再表現するDeWitt 2インデックスから1インデックスへの写像を用い、FDEにテンソル構造を組み込む。
• 第一級制約を満たす系における一貫性を保つために、ディラック括弧と簡略化幾何学的ポアソン括弧を用いる。
• 複数の制約条件を扱うために合成則を適用し、解がすべての制約交換関係を満たすように保証する。
• 純配置依存beablesは制約代数を介して生成子によって消えるが、純運動量系では新しい数学的取り扱いが要請されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限系および場的理論的系におけるクチャールbeablesの空間を支配する明示的PDEまたはFDEは何か？
• RQ2 純運動量および配置・運動量混合依存beablesの式は、純配置依存beablesの式とどのように異なるか？
• RQ3 なぜ純配置依存beables（例：形状、3次元幾何、ループ）はすでに広く知られているが、運動量に基づくものは数学的に未だ未発達なのか？
• RQ4 一般相対性理論のような二次的制約を持つ系において、ディラックとクチャールの観測可能量の定義はどのように相違するか？
• RQ5 幾何力学におけるFDEの定式化において、DeWitt写像とスメアード関数微分が果たす役割は何か？

主な発見

• 純配置依存クチャールbeablesは、制約代数から導かれるPDEを満たし、これは観測可能量が制約生成子によって消える条件と同等である。
• 場的理論的beablesの関数微分方程式は、スメアード制約と関数微分を用いて定式化され、∫dⁿz ∑_A { δ(C_C|∂ξ^C)/δQ^A(z) · δ(B_B|χ^B)/δP_A(z) − δ(C_C|δξ^C)/δP_A(z) · δ(B_B|χ^B)/δQ^A(z) } ≈ 0 となる。
• 一般相対性理論において、ディラック観測可能量の条件は特定のFDEに帰着する：{G − M D²} δD_D/δp − 2p N δD_D/δh ≈ 0、ここでGはハミルトニアン密度、D²はラプラシアンである。
• DeWitt写像により、3次元計量h_abと運動量p^abがベクトル場h^Aとp_Aに変換され、FDEに自然に計量M_ABとN^ABが現れる。
• 純運動量依存クチャールbeablesは、運動量に非線形に依存するため、配置beablesと同様に生成子による消滅の同等性が成立しない。
• 本稿は、基底beables（互いに独立で完全な観測可能量の集合）が2(q − g)個必要であることを確立した。ここでqは配置変数の数、gは第一級制約の数である。