[論文レビュー] Classical Machian Resolution of the Spacetime Reconstruction Problem

Edward Anderson, Flavio Mercati|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 49被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、時空を事前に仮定せず、空間のみを基本的と仮定して一般相対性理論のハミルトニアン制約を関係的力学から導出することにより、古典的マッハ的解決を提示する。ディラック型の解析を用い、ポisson括弧を用いて体系的に未物理的自由度を除去することで、力学の整合性が、4つの可能性を一意に選ぶことを示している：ローレンツ的、ガリレオ的、カーロル的相対性、または一定平均曲率スライシング。後者は、標準的な時空対称性と同等の動的選択肢として自然に出現する。

ABSTRACT

Following from a question of Wheeler, why does the Hamiltonian constraint ${\cal H}$ of GR have the particular form it does? A first answer, by Hojman, Kuchař and Teitelboim, is that using embeddability into spacetime as a principle gives the form of ${\cal H}$. The present paper culminates a second Machian answer - initially by Barbour, Foster and ó Murchadha - in which space but not spacetime are assumed. Thus this answer is additionally a classical-level resolution of the spacetime reconstruction problem. In this approach, mere consistency imposed by the Dirac procedure whittles down a general ansatz to one of four alternatives: Lorentzian, Galilean, or Carrollian relativity, or constant mean curvature slicing. These arise together as the different ways to kill off a 4-factor obstruction term. It is novel for such an alternative to arise from principles of dynamics considerations (in contrast with the historical form of the dichotomy between universal local Galilean or Lorentzian relativity). It is furthermore intriguing that it gives constant mean curvature slicing - familiar from York's work on the initial value problem -- as a further option on a similar footing. That is related to a number of recent alternative theories/formulations of GR known collectively as `shape dynamics'. The original work did not treat this with Poisson brackets and a proper systematic Dirac-type analysis; we rectify this in this paper. It is also the first demonstration of how this approach solves the classical spacetime reconstruction problem via `hypersurface tensor dual nationality' and what can be interpreted as embedding equations arising.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論におけるハミルトニアン制約の形を、時空を事前に仮定せずに力学的原理から導出することにより、時空再構成問題を解決すること。
• バーブール＝フォスター＝オ・マーチャダの関係的アプローチに基づき、ハミルトニアン制約がその特定の形をとる理由を、古典的レベルでマッハ的に説明すること。
• 以前の研究の修正のため、関係的力学フレームワークに適切なポisson括弧構造を備えた厳密なディラック型制約解析を適用すること。
• 4要因の障害項が力学に現れる際、ローレンツ的、ガリレオ的、カーロル的、または一定平均曲率スライシングという4つの対称性構造が自然に解として出現することを示すこと。
• 得られた方程式が、空間幾何と埋め込み制約の観点から時空4接続の物理的解釈を提示する一方で、真空中のアインシュタイン場方程式を再現すること。

提案手法

• 空間の3次元幾何のみを基本的と仮定し、事前に時空多様体を仮定しない関係的力学に基づいて、ハミルトニアン制約の一般的アンサンブルを構築する。
• ポisson括弧を用いて未物理的自由度を体系的に除去するため、制約の整合性を保つためにディラック手順を適用する。
• 制約代数に現れる4要因の障害項を除去する必要があり、その結果、4つの明確に区別される動的代替解が得られる。
• その結果得られる方程式が、超曲面テンソル双対性を解釈することで、真空中のアインシュタイン場方程式 $G^{(4)}_{\mu\nu} = 0$ を再現することを示す。
• 最適一致手続きと超曲面射影を用いて導出された埋め込み方程式を通じて、空間幾何的データから時空4接続を再構成する。
• ヨークの初期値問題で馴染み深い一定平均曲率スライシングが、標準的な時空対称性と同等の動的解として自然に出現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論のハミルトニアン制約を、時空を事前に仮定せずに力学的原理からどのように導出できるか？
• RQ2 時空構造を事前に仮定しない空間のみを基本的と仮定した場合、その動的結果は何か？
• RQ3 なぜ制約代数は、ローレンツ的、ガリレオ的、カーロル的、または一定平均曲率スライシングという正確に4つの可能な対称性構造を導くのか？
• RQ4 純粋に空間的幾何的データと関係的力学から、時空4接続および曲率を再構成できるか？
• RQ5 最適一致と埋め込み方程式による関係的アプローチは、4次元時空多様体を仮定せずに、アインシュタイン場方程式をどのように再現するのか？

主な発見

• 関係的力学に基づく一般的アンサンブルに対するディラック手順を適用した結果、ローレンツ的、ガリレオ的、カーロル的相対性、または一定平均曲率スライシングという4つの可能性に一意に還元される。
• 一定平均曲率スライシングはゲージ選択ではなく、標準的な時空対称性と同等の動的解として出現する。これは、4要因の障害項の除去によって生じる。
• 真空中のアインシュタイン場方程式は、関係的アプローチによって再現され、$G^{(4)}_{\mu\nu} = 0$ は制約の整合性と埋め込み方程式から導出される。
• 時空4接続は空間的データから再構成され、$\Gamma^{(4)}{}^{c}{}_{ab} = \Gamma^{c}{}_{ab}$ および $\Gamma^{(4)}{}^{\perp}{}_{ab} = K_{ab}$ のような成分が示し、空間幾何と時空構造との自然な関連を示している。
• 作用 $\int \int_{\Sigma} \sqrt{\bar{R}} \, \textrm{d}^{3}x \, \textrm{d}s$ がADM形式のアインシュタイン＝ヒルベルト作用と等価であることが示され、関係的定式化の動的同値性を確認した。
• 本論文は、時空4曲率および接続が、空間的関係的力学から初めから導出可能であることを確立し、空間曲率と埋め込み制約の観点から4接続の物理的解釈を提供した。