[論文レビュー] Exponentiable Higher Toposes

Mathieu Anel, Damien Lejay|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、∞-トポスが指数的であることを、そのsheafの∞-圏が連続的である、すなわちind-対象からのコロイミット関手が左随伴を持つことと同値に特徴づけている。ω-連続的層——有限極限およびフィルタードコロイミット条件を満たす関手——を導入し、これにより指数的∞-トポス上の安定層の∞-圏が、現れるべき安定∞-圏の∞-圏において双対的であることを示している。

ABSTRACT

We characterise the class of exponentiable $\infty$-toposes: $\mathcal X$ is exponentiable if and only if $\mathcal S\mathrm{h}(\mathcal X)$ is a continuous $\infty$-category. The heart of the proof is the description of the $\infty$-category of $\mathcal C$-valued sheaves on $\mathcal X$ as an $\infty$-category of functors that satisfy finite limits conditions as well as filtered colimits conditions (instead of limits conditions purely); we call such functors $ω$-continuous sheaves. As an application, we show that when $\mathcal X$ is exponentiable, its $\infty$-category of stable sheaves $\mathcal S\mathrm{h}(\mathcal X, \mathrm{Sp})$ is a dualisable object in the $\infty$-category of presentable stable $\infty$-categories.

研究の動機と目的

• 指数的∞-トポスを、そのsheafの∞-圏の連続性という観点から特徴づけること。
• 有限極限およびフィルタードコロイミットを満たすω-連続的関手を用いて、∞-トポス上のC-値層の新しい記述を構築すること。
• 指数的∞-トポス上の安定層の∞-圏が、現れるべき安定∞-圏の∞-圏において双対的であることを確立すること。
• ∞-圏のテンソル積と∞-トポスの∞-圏における積構造との関係を特定し、指数的対象の構造的解析を可能にするこ。

提案手法

• 小かつ有限ココロイミットを持つ部分圏Dから∞-圏Cへの関手として、bimodule w: Dop × D → S を用いたコエンド条件を満たす関手として、ω-連続的層の概念を導入する。
• コエンドの公式 F(a) ≃ ∫_{b ∈ D} w(a,b) ⊗ F(b) を用いて、指数的∞-トポスX上のC-値層を表現する。
• ∞-圏におけるコエンドおよび左Kan拡張の理論を応用し、sheaf ∞-圏をind-対象のコリフレクティブ局所化として記述する。
• 自由∞-ロゴスの普遍性および随伴関手定理に依拠し、左完全関手によるsheaf ∞-圏の特徴づけを行う。
• presentable ∞-圏からstableなものの間の関手 C ↦ C ⊗ Sp を用いて関係を構築し、これによりPresstにおける双対的性を証明する。
• 対称モノイダル∞-圏において、双対的対象のリトラクトは双対的であるという事実を用い、Sh(X, Sp) の双対的性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的∞-トポスは、そのsheafの∞-圏の構造に関してどのように特徴づけられるか？
• RQ2 極限のみでなく有限極限およびフィルタードコロイミットを満たす条件を用いて、∞-トポス上のsheaf ∞-圏はどのように記述できるか？
• RQ3 どのような条件下で、∞-トポス上の安定層の∞-圏が、現れるべき安定∞-圏の∞-圏において双対的となるか？
• RQ4 ∞-圏のテンソル積は、∞-トポスの∞-圏における積構造とどのように関係するか？
• RQ5 ind-対象および安定化を用いたリトラクトの議論により、Sh(X, Sp) の双対的性はPresstにおいて確立可能か？

主な発見

• ∞-トポスXが指数的であることと、そのsheafの∞-圏Sh(X)が連続的であること、すなわちInd(Sh(X)) → Sh(X) におけるコロイミット関手が左随伴を持つことは同値である。
• 指数的∞-トポスX上のC-値層の∞-圏は、すべてのa ∈ Dに対して F(a) ≃ ∫_{b ∈ D} w(a,b) ⊗ F(b) を満たすω-連続的関手F: Dop → C の∞-圏と同値である。
• Xが指数的であれば、安定層の∞-圏Sh(X, Sp) は、現れるべき安定∞-圏の∞-圏において双対的である。
• Presstにおける双対的対象は、ちょうどP(D) ⊗ Spの形をした∞-圏およびそのリトラクトであり、Sh(X, Sp) がそのような圏のリトラクトであることが示された。
• 安定化関手は双対的性を保存する。Dが有限コロイミットを備えるとき、Ind(D) ⊗ Sp はPresstにおいてP(D) ⊗ Sp のリトラクトである。
• 証明は、∞-圏のテンソル積とコエンドによる内部ホムの同定に依拠しており、古典的層理論を∞-圏的設定に一般化している。