[論文レビュー] Marked colimits and higher cofinality

Fernando Abellán García|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、laxness を制御するマーク付き ∞-圏構造を備えたマーク付き ∞-圏構造を介して、重み付きおよびlaxコロイドの一般化として、∞-2圏におけるマーク付きコロイドを導入する。マーク付きコロイドには2次元の普遍性が確立され、マーク付き ∞-圏間の関手に対するコfinality の基準が提示され、コCartesian フibration の局所化を介してマーク付きコロイドが保存されることを示す。

ABSTRACT

Given a marked $\infty$-category $\mathcal{D}^{\dagger}$ (i.e. an $\infty$-category equipped with a specified collection of morphisms) and a functor $F: \mathcal{D} o \mathbb{B}$ with values in an $\infty$-bicategory, we define $\operatorname{colim}^{\dagger} F$, the marked colimit of $F$. We provide a definition of weighted colimits in $\infty$-bicategories when the indexing diagram is an $\infty$-category and show that they can be computed in terms of marked colimits. In the maximally marked case $\mathcal{D}^{\sharp}$, our construction retrieves the $\infty$-categorical colimit of $F$ in the underlying $\infty$-category $\mathcal{B} \subseteq \mathbb{B}$. In the specific case when $\mathbb{B}=\mathfrak{Cat}_{\infty}$, the $\infty$-bicategory of $\infty$-categories and $\mathcal{D}^{\flat}$ is minimally marked, we recover the definition of lax colimit of Gepner-Haugseng-Nikolaus. We show that a suitable $\infty$-localization of the associated coCartesian fibration $\operatorname{Un}_{\mathcal{D}}(F)$ computes $\operatorname{colim}^{\dagger} F$. Our main theorem is a characterization of those functors of marked $\infty$-categories $f:\mathcal{C}^{\dagger} o \mathcal{D}^{\dagger}$ which are marked cofinal. More precisely, we provide sufficient and necessary criteria for the restriction of diagrams along $f$ to preserve marked colimits.

研究の動機と目的

• マーク付き ∞-圏を用いて、∞-2圏における重み付きコロイドの一般理論を構築すること。
• 標準的な ∞-圏のコロイドとlaxコロイドの両方を回復できる統一的枠組みとして、マーク付きコロイドを定義すること。
• マーク付きコロイドを保存するマーク付きコfinal関手の特徴付けを提供すること。
• 局所化を介してグロテンディーク構成とコCartesian フibration に関連付けること。
• マーク付きコロイドに2次元の普遍性を確立し、高次圏の普遍的構成と整合させること。

提案手法

• インデキシング ∞-圏におけるマーク付き射の指定された集合を用いて、∞-2圏における普遍的構成としてマーク付きコロイドを定義する。
• インデキシング図が ∞-圏であるとき、∞-2圏における重み付きコロイドがマーク付きコロイドとして計算できることを示す。
• 関手 F に関連するコCartesian フibration の局所化を用いてマーク付きコロイドを構成する。
• 2次元の普遍性を用いてマーク付きコロイドを特徴付け、高次射との一意性および整合性を保証する。
• 関手がマーク付き ∞-圏間で制限を受けるときの振る舞いを分析することで、コfinality の基準を確立する。
• グロテンディーク構成に関連付け、既知のlaxコロイドおよび ∞-コロイドの結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ∞-2圏における重み付きコロイドを体系的に定義・計算する方法は何か？
• RQ2 マーク付きコロイドがどのようにして ∞-圏のコロイドとlaxコロイドの両方を一般化するのか？
• RQ3 マーク付き ∞-圏間の関手がマーク付きコロイドを保存するための条件は何か？
• RQ4 関手に関連するコCartesian フibration の局所化がどのようにしてマーク付きコロイドを計算するのか？
• RQ5 マーク付きコロイドが満たす正確な2次元の普遍性とは何か？

主な発見

• マークが最大（つまりすべての射がマークされている）であるとき、マーク付きコロイドは標準的な ∞-圏のコロイドに回復される。
• ∞-2圏としての ∞-圏の圏において、最小のマークをとると、マーク付きコロイドはゲプナー＝ハウーセン＝ニコラウスが定義したlaxコロイドに回復される。
• 関手 F のマーク付きコロイドは、関連するコCartesian フibration Un_D(F) をマーク付き射で局所化することで計算される。
• 関手 f: C^† → D^† がマーク付きコfinalであることは、それがマーク付きコロイドを保存することと同値であり、必要十分条件を提供する。
• この構成は2次元の普遍性を満たし、高次圏の普遍的代数に適している。
• マーク付き ∞-圏の枠組みを通じて、既存のlaxコロイドおよび ∞-コロイドの結果が統一的かつ一般化される。