[論文レビュー] Exponential convergence of the hp Virtual Element Method with corner singularities

Lorenzo Mascotto, L. Beirão da Veiga+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、角特異性を有する多角形メッシュ上での2次元ポアソン問題に対して、$hp$バーチャルエレメント法（VEM）の指数的収束を確立する。著者らは、メッシュサイズ $h$ と多項式次数 $p$ に明示的な依存関係を持つ新しい安定化項を導入し、局所的に変化する多項式次数を有する幾何的グレーディングメッシュを用いることで、エネルギーノルムにおける指数的収束を証明した。これは、形状正則性やメッシュ一致を要件としない一般多面体メッシュへの $hp$-FEM理論の拡張を実現した。

ABSTRACT

In the present work, we analyze the $hp$ version of Virtual Element methods for the 2D Poisson problem. We prove exponential convergence of the energy error employing sequences of polygonal meshes geometrically refined, thus extending the classical choices for the decomposition in the $hp$ Finite Element framework to very general decomposition of the domain. A new stabilization for the discrete bilinear form with explicit bounds in $h$ and $p$ is introduced. Numerical experiments validate the theoretical results. We also exhibit a numerical comparison between $hp$ Virtual Elements and $hp$ Finite Elements.

研究の動機と目的

• 古典的 $hp$-FEM理論が適用可能であるが、VEMが完全に一般化されていない角特異性を有する多角形メッシュへの $hp$-バーチャルエレメント法の拡張を目的とする。
• メッシュサイズ $h$ と多項式次数 $p$ の両方に明示的な依存関係を持つ新しい安定化項を構築し、$hp$-解析を可能にする。
• 幾何的細分化メッシュと局所的に変化する多項式次数を用いて、角特異性を有する滑らかでない解に対するエネルギー誤差の指数的収束を証明する。
• 形状正則性やメッシュ一致を要件としない、メッシュ幾何に関する制限的仮定を排除するため、多角形上での多項式に対する新しい逆不等式を導入する。

提案手法

• メッシュサイズ $h$ と多項式次数 $p$ に明示的な依存関係を持つ新しい安定化項を $hp$-VEM離散双一次形式に導入し、異なる要素タイプや多項式次数に対しても安定性を保証する。
• 特異的角（例：原点）に向かって指数的に細分化される幾何的グレーディング多角形メッシュを構築し、層 $L_0$ の要素では $h_K \approx \sigma^n$、層 $j$ の要素では $h_K \approx \sigma^{n-j}$ となるように設定する。
• 各要素で変化する局所的多項式次数ベクトル $\mathbf{p}$ を定義し、$p_K \geq 2$ となるようにし、特異性からの距離に応じて線形に増加するように選ぶ。
• 多角形要素上での多項式に対する新しい逆不等式を導出し、安定化項のバインドと $hp$-ロバスト性の証明に不可欠な役割を果たす。
• エネルギー誤差を3つの成分に分解する：適合性誤差、多項式空間内での最良近似誤差、バーチャルエレメント空間内での最良近似誤差。各成分をメッシュおよび多項式次数パラメータでバインドする。
• 適切な $\mathbf{p}$ 選択と幾何的メッシュ系列を用いて、すべての誤差バインドを統合し、自由度の数に関してエネルギーノルムにおける指数的収束を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般多角形メッシュ上での角特異性を有する問題に対して、$hp$-VEMは $hp$-FEMと同様に指数的収束を達成できるか？
• RQ2 滑らかでない解に対して、$hp$-VEMフレームワークにおける $h$-および $p$-ロバスト性を保証する安定化戦略は何か？
• RQ3 角特異性の存在下で収束速度を最適化するために、メッシュグレーディングと局所的多項式次数分布はどのように選ぶべきか？
• RQ4 形状正則性やメッシュ一致を要件としないで、理論的収束を達成できるか？
• RQ5 VEMの $hp$-解析を支えるために、多角形要素上での多項式に必要な新しい逆不等式は何か？

主な発見

• 提案された $hp$-VEMは、非構造的多角形メッシュでさえも、角特異性を有する2次元ポアソン問題に対してエネルギー誤差の指数的収束を達成する。
• 新しい安定化項は、$h$ と $p$ に明示的な依存関係を持つ $H^1$ 半ノルムで有界であることが証明され、厳密な $hp$-解析を可能にする。
• 数値実験により理論的指数的収束率が確認され、特定の設定では標準的 $hp$-FEMに比べて優れた性能を示す。
• 剛性行列の最小一般固有値は $p^{-1}$ のオーダーでスケーリングされ、安定性に関する理論的バインドが保守的であるが、実際の条件数はそれほど厳しくないことが示唆される。
• 形状正則性やメッシュ一致を要件としないため、複雑な幾何形状や適応的グレーディングに適した、指数的収束を達成する。
• 多角形要素上での多項式に対する新しい逆不等式が導出・証明され、$hp$-VEMの収束証明に不可欠であり、多角形法の分野でも広く応用可能である可能性を示す。