[論文レビュー] Extensive Rényi entropies in matrix product states

Alberto Rolandi, Henrik Wilming|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2020

Quantum many-body systems参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のギャップを持つ並進不変な行列積状態（MPS）において、リーマンエンタングルメントエントロピーが、非連結な部分系（例えば、k番目のスピンごと）に対して、熱力学的極限において、状態が積状態に収束しない場合に限り、体系的であることを証明する。著者らは、移動作用素の展開係数および固定点のスペクトル的性質を用いて、エントロピー密度の明示的な下界を導出し、Krausランクおよびエントロピーを用いた原始的量子チャネルに関する追加の下界も提示する。

ABSTRACT

We prove that all Rényi entanglement entropies of spin-chains described by generic (gapped), translational invariant matrix product states (MPS) are extensive for disconnected sub-systems: All Rényi entanglement entropy densities of the sub-system consisting of every k-th spin are non-zero in the thermodynamic limit if and only if the state does not converge to a product state in the thermodynamic limit. Furthermore, we provide explicit lower bounds to the entanglement entropy in terms of the expansion coefficient of the transfer operator of the MPS and spectral properties of its fixed point in canonical form. As side-result we obtain a lower bound for the expansion coefficient and singular value distribution of a primitve quantum channel in terms of its Kraus-rank and entropic properties of its fixed-point. For unital quantum channels this yields a very simple lower bound on the distribution of singular values and the expansion coefficient in terms of the Kraus-rank. Physically, our results are motivated by questions about equilibration in many-body localized systems, which we review.

研究の動機と目的

• ギャップを持つ並進不変なMPSにおけるRényiエンタングルメントエントロピーの二分法を確立する：熱力学的極限において、体系的であるか、または消えるかのいずれかである。
• 移動作用素の展開係数および固定点のスペクトルデータを用いて、Rényiエントロピー密度の明示的な下界を導出する。
• Krausランクおよび固定点のエントロピー的性質を用いて、原始的で単位的かつトレース保存な量子チャネルの特異値分布および展開係数に関する新たな下界を提供する。
• これらの結果を多体局在系における均衡化に関連づけ、非連結部分系のエンタングルメントを研究する動機を提示する。

提案手法

• MPSの移動作用素TおよびそのべきT^mを分析し、ブロック構造を持つ部分系におけるエンタングルメントを研究する。
• Rényiエントロピー密度の下界s_α^(k)を計算するために、ねじれた移動作用素を導入する。
• MPSの標準形を用いて、双対移動写像の固定点およびそのスペクトル的性質を分析する。
• 完全正値マップ（CPマップ）および量子チャネルの技術を適用し、特に展開係数および特異値に注目する。
• Krausランクおよび固定点のRényi-2エントロピーを用いて、展開係数および特異値分布の下界を導出する。
• スペクトル分解およびトレース不等式を用いて、エントロピー密度およびチャネルの収束速度の下界を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャップを持つ並進不変なMPSにおける非連結部分系のRényiエンタングルメントエントロピーが、熱力学的極限においていつ体系的になるか。
• RQ2 Rényiエントロピーが消える条件と、MPSが熱力学的極限で積状態に収束する条件との正確な関係は何か。
• RQ3 原始的量子チャネルの展開係数および特異値分布は、そのKrausランクおよび固定点エントロピーを用いてどのように下界づけられるか。
• RQ4 移動作用素の固定点のスペクトル的データを用いて、Rényiエントロピー密度のより鋭い下界を導出できるか。
• RQ5 これらの結果は、i.i.d.でないMPSテンソルや、PEPSのような高次元系へどのように一般化できるか。

主な発見

• すべてのRényiエンタングルメントエントロピーが、k番目のスピンからなる部分系に対して、熱力学的極限において、MPSが積状態に収束しない場合に限り体系的である。
• Rényiエントロピー密度s_α^(k)は、ねじれた移動作用素の最大固有値に依存する量から下界づけられる。この量はMPSテンソルから計算可能である。
• s_α^(k)の明示的な下界は、移動作用素の展開係数および標準形における固定点のスペクトル的性質を用いて導出される。
• 原始的で単位的かつトレース保存な量子チャネルに対しては、展開係数および特異値分布が、Krausランクおよび固定点のRényi-2エントロピーを含む式によって下界づけられる。
• 展開係数の下界は一般にはタイトではないため、今後の研究で改善の余地がある。
• これらの結果は、Rényiエントロピーの中間的スケーリング（例：√n）がこのような系では不可能であることを示唆しており、体系的と消えるの間の明確な二分法が確認された。