[論文レビュー] Extinction rate of continuous state branching processes in critical L\\'evy environments

Vincent Bansaye, Juan Carlos Pardo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、スピッツァーの条件と指数モーメントの仮定の下で、臨界的レヴィ環境下における連続状態ブランチング過程（CSBPs）の絶滅率を確立する。これは、安定な機構に限らない既存の結果を拡張したものである。レヴィ過程のフラクチュエーション理論と指数関数的機能の漸近解析を組み合わせることで、生存確率が環境の累積最小値に強く関連していることを証明し、臨界的で振動する状態における絶滅時間の正確な尾確率推定を導出する。

ABSTRACT

We study the speed of extinction of continuous state branching processes in a L\\'evy environment, where the associated L\\'evy process oscillates. Assuming that the L\\'evy process satisfies the Spitzer's condition and the existence of some exponential moments, we extend recent results where the associated branching mechanism was stable. Our study relies on the path analysis of the process together with its environment, when this latter is conditioned to have a non negative running infimum. This approach is inspired from the discrete setting with i.i.d. environment studied in (Afanasyev et al. 2005).

研究の動機と目的

• 安定な分岐機構に限らないレヴィ環境下におけるCSBPの絶滅率結果を一般化すること。
• レヴィ環境が振動し、スピッツァーの条件を満たす場合のCSBPの長期的挙動を分析すること。
• 非退化な環境の揺らぎを伴う臨界定常状態における絶滅速度を確立すること。
• CSBPのパスをレヴィ環境の累積最小値に基づいて分解し、生存確率の分析を行うこと。
• レヴィ過程の指数関数的機能の漸近解析を活用して、絶滅時間の尾挙動を精確に導出すること。

提案手法

• フラクチュエーション理論からのパスワイズ条件付け技術を用いて、レヴィ過程を非負に保つように条件づける。
• アファナシエフら（2010年）の離散的i.i.d.設定における手法を、連続的CSBP-環境フレームワークに適用する。
• 環境の累積最小値を基準として、CSBPのパスを事前最小値段階と事後最小値段階に分解する。
• 有界変動性と指数モーメントを持つレヴィ過程によって駆動されるCSBPのSDE表現を用いる。
• パティエとサボフの結果を応用して、パスワイズ挙動に基づいて生存確率を特徴付ける。
• 伊藤の公式とマルティンゲール技法を用いて、クエンチド測度下でのCSBPの保守性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐機構が安定でない場合、臨界的レヴィ環境下におけるCSBPの絶滅率は何か？
• RQ2 CSBPの生存確率は、特に環境の累積最小値周辺のレヴィ環境のパスにどのように依存するか？
• RQ3 スピッツァーの条件を満たし、指数モーメントを持つレヴィ環境下で、絶滅時間の尾挙動を正確に特徴づけることができるか？
• RQ4 環境の累積最小値は、CSBPの生存確率を決定づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 フラクチュエーション理論と指数関数的機能の漸近解析をどのように組み合わせて、確率的環境下におけるCSBPの長期的挙動を分析できるか？

主な発見

• CSBPの絶滅率は、レヴィ環境の指数関数的機能の漸近的挙動によって特徴づけられ、安定な場合の結果が拡張されている。
• CSBPの生存は、レヴィ環境が累積最小値に達するまでの時点までの生存確率に強く関連している。
• 事前最小値と事後最小値の段階へのパス分解により、条件付き解析を用いて生存確率を精確に制御できる。
• スピッツァーの条件と指数モーメントの仮定の下で、生存確率は時間に対して多項式的に減少し、そのレートはレヴィ過程の特性によって決定される。
• クエンチド測度下でCSBPは保守的である。これは、マルティンゲールおよびグロワールド型の議論により、ほとんど確実に有限時間で爆発しないことが示された。
• 自己相似性の必要性を排除し、より広い分岐機構のクラスにまで拡張することで、従来の安定な機構に関する結果が一般化された。