[論文レビュー] Factorization homology and calculus à la Kontsevich Soibelman

Geoffroy Horel|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、連接複体または可換環スpectrum上の加群における結合的代数のトップロジカル・ホッホシュילדコホモロジーおよびホモロジーの対に、Kontsevich-Soibelmanの色付きオペラッド $σ\mathcal{KS}$ の作用を構成する。境界を持つ多様体上の因子化ホモロジーとスイスチーズオペラッドを用いて、古典的な非可換微分積分学的構造をチェーンレベルにまで昇格させ、$σ\mathcal{KS}$-代数を介してデリーニの予想を高次元に一般化する。

ABSTRACT

Using factorization homology techniques, we give a simple proof of the action of Kontsevich and Soibelman operad on the pair consisting of Hochschild cohomology and Hochschild homology. The proof obviously extends to higher Hochschild cohomology and factorization (also called chiral) homology. Note that our result works in categories of chain complexes but also in categories of modules over a commutative ring spectrum.

研究の動機と目的

• 古典的な非可換微分積分学的構造をホッホシュルド (co)ホモロジーに、チェーンレベルでの整合的な作用に昇格すること。
• 境界を持つ多様体上の因子化ホモロジーを用いて、2次元の小さなディスク作用に関するデリーニの予想を高次元に一般化すること。
• トポロジカル・ホッホシュルドコホモロジーとホモロジーが、高次元のKontsevich-Soibelmanオペラッド $σ\mathcal{KS}$ の代数をなすことを確立すること。
• ホッホシュルドホモロジーを因子化ホモロジー、コホモロジーを導来自己準同型に置き換えることで、$σ\mathcal{E}_d$-代数への枠組みの拡張を図ること。
• 得られる構造が、チェーン複体および環スペクトル、特に有理的グレーディングでない場合を含めて、両立することを証明すること。

提案手法

• フレームド境界付き多様体上の因子化ホモロジーを、積フレーミングを備えた多様体への埋め込みを用いて定義する。
• スイスチーズオペラッドを用いて、シリンダーの境界上のディスクをパrameterとする作用をモデル化する。KontsevichとSoibelmanが定義した通り。
• 可換環スペクトル上のオペラッドおよびそのモジュールのホモトピー理論を用いて、境界付きフレームド多様体の圏からターゲット圏への対称モノイダル関手を構成する。
• ヤオデナの補題と埋め込み空間間のホモトピー同値を用いて、シリンダーの因子化ホモロジーを代数のホッホシュルドホモロジーに同定する。
• $M_{\tau}^{\circlearrowright}\mathcal{M}od$ からペア $(D, M \times [0,1))$ の自己準同型オペラッドへの写像を構成し、望ましい代数的構造を誘導する。
• HinichおよびFresseが確立したように、singular chainsおよび$C_*(\mathcal{O})$-代数上の転送されたモデル構造を用いて、非有界チェーン複体への適用を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な非可換微分積分学的構造をホッホシュルド (co)ホモロジーに、チェーンレベルでの整合的な作用に昇格させることは可能か？
• RQ2 Kontsevich-Soibelmanオペラッド $\mathcal{KS}$ の高次元版が、因子化ホモロジーおよび高次ホッホシュルドコホモロジーに作用するか？
• RQ3 境界を持つ多様体および高次元の小さな $d$-ディスクオペラッド上の代数へ、デリーニの予想の自然な拡張は存在するか？
• RQ4 この構成は、可換環スペクトル上のチェーン複体の圏、特に有理的グレーディングでない設定を含めて拡張可能か？
• RQ5 高次元におけるトポロジカル・ホッホシュルドコホモロジーとホモロジーの間の相互作用を支配する正確なオペラッド的構造は何か？

主な発見

• 可換環スペクトル上の結合的代数 $A$ のトポロジカル・ホッホシュルドコホモロジーおよびホモロジーの対 $(\mathrm{HH}^*(A), \mathrm{HH}_*(A))$ は、Kontsevich-Soibelmanオペラッド $\mathcal{KS}$ の代数に弱同値である。
• $\mathcal{KS}$ の作用は、古典的なゲルステンハーバー微分積分学的構造をチェーンレベルに昇格させ、シューライト＝ニーデンハイス括弧、カップ積、リー微分を含む。
• この構成は $\mathcal{E}_d$-代数へ一般化可能であり、ホッホシュルドコホモロジーは導来自己準同型に、ホッホシュルドホモロジーは $(d-1)$-多様体上の因子化ホモロジーに置き換えられる。
• フレームド $(d-1)$-多様体 $M$ に対して、対 $(\mathrm{HH}_{\mathcal{E}_{d-1}}(A), \int_M A)$ は、微分積分学的構造を支配する高次オペラッド $M_{\tau}^{\circlearrowright}\mathcal{M}od$ の代数に弱同値である。
• 非有界チェーン複体の場合、$C_*(\mathcal{O})$-代数を用いて結果は成立し、因子化ホモロジーは $C_*(\mathbf{E}_d)$ 上の導来テンソル積として定義される。これにより、有理的グレーディングでない設定への枠組みの拡張が可能になる。