[論文レビュー] Fast Dynamic Cuts, Distances and Effective Resistances via Vertex Sparsifiers

Li Chen, Gramoz Goranci+3 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 75被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、頂点スパーシファイアを用いて無向グラフ上で効率的な動的近似アルゴリズムを設計する一般化されたフレームワークを提案する。j-ツリーとスペクトルスパーシファイアの階層的構成を活用することで、動的全対最大流、最短経路、有効抵抗について、近似比がほぼ最適で、グラフサイズおよび誤差パラメータに優れた依存関係を達成する部分線形更新時間とクエリ時間を実現する。

ABSTRACT

We present a general framework of designing efficient dynamic approximate algorithms for optimization on undirected graphs. In particular, we develop a technique that, given any problem that admits a certain notion of vertex sparsifiers, gives data structures that maintain approximate solutions in sub-linear update and query time. We illustrate the applicability of our paradigm to the following problems. (1) A fully-dynamic algorithm that approximates all-pair maximum-flows/minimum-cuts up to a nearly logarithmic factor in $ ilde{O}(n^{2/3})$ amortized time against an oblivious adversary, and $ ilde{O}(m^{3/4})$ time against an adaptive adversary. (2) An incremental data structure that maintains $O(1)$-approximate shortest path in $n^{o(1)}$ time per operation, as well as fully dynamic approximate all-pair shortest path and transshipment in $ ilde{O}(n^{2/3+o(1)})$ amortized time per operation. (3) A fully-dynamic algorithm that approximates all-pair effective resistance up to an $(1+ε)$ factor in $ ilde{O}(n^{2/3+o(1)} ε^{-O(1)})$ amortized update time per operation. The key tool behind result (1) is the dynamic maintenance of an algorithmic construction due to Madry [FOCS' 10], which partitions a graph into a collection of simpler graph structures (known as j-trees) and approximately captures the cut-flow and metric structure of the graph. The $O(1)$-approximation guarantee of (2) is by adapting the distance oracles by [Thorup-Zwick JACM `05]. Result (3) is obtained by invoking the random-walk based spectral vertex sparsifier by [Durfee et al. STOC `19] in a hierarchical manner, while carefully keeping track of the recourse among levels in the hierarchy.

研究の動機と目的

• 静的と動的グラフアルゴリズムの性能差を埋めるために、近似解の効率的動的維持を可能にすること。
• 部分線形の更新時間とクエリ時間で、動的グラフにおける近似フロー、距離、有効抵抗を維持する課題に対処すること。
• 複数のグラフ最適化問題へ一般化可能な、頂点スパーシファイアに基づく統一的フレームワークの開発すること。
• 静的オラクルで達成可能な最高の近似比を維持しつつ、動的更新効率を顕著に向上させること。

提案手法

• フレームワークは、動的グラフ問題を、頂点スパーシファイアのデータ構造の維持に還元する。具体的には、j-ツリー分解を用いてカット構造とメトリクス構造を捉える。
• 最大流および最小カットのため、ストレッチが有界なj-ツリーへのグラフの分解を動的維持するマドリー（FOCS'10）の構成を採用する。
• 最短経路のため、トロップ＝ツヴィックの距離オラクルを増分的設定に適応し、n^{o(1)}の更新時間でO(1)近似を達成する。
• 有効抵抗のため、ダーフィーらのスペクトル頂点スパーシファイアを階層的に適用し、各レベル間でのリカバリの追跡を注意深く行う。
• 潜在関数とlmax関数を用いた反復的ブースティングにより、ストレッチが有界なスパーシファイアの凸結合を維持する。
• 各ステップにおけるスパーシファイア成分の選択をガイドするため、lmax関数の偏微分に基づくグリーディ更新ルールを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点スパーシファイアを用いて、無向グラフ最適化問題の動的近似アルゴリズムを設計する一般化フレームワークを開発可能か？
• RQ2 動的全対最大流／最小カットの最良の近似比と更新時間のトレードオフは何か？
• RQ3 動的最短経路およびトランスシッピング問題を、部分多項式的更新時間で維持しつつ、定数因子近似を保てるか？
• RQ4 有効抵抗を(1+ε)-近似で、ほぼ最適な更新時間で動的維持可能か？
• RQ5 適応的敵対者に対しても部分線形の更新時間が保たれるように、フレームワークを拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、無作為な敵対者に対して、O(log n log log n)の要因を伴う全動的全対最大流／最小カット近似を、O(n^{2/3+o(1)})のアムortィズド更新時間で達成する。
• 適応的敵対者に対しても、更新時間はO(m^{3/4})に増加するが、依然として部分線形であり、同じ近似比を維持する。
• 増分的全対最短経路データ構造により、1回の操作あたりn^{o(1)}時間でO(1)近似を達成し、従来の動的最短経路の境界を改善する。
• 全動的有効抵抗アルゴリズムは、(1+ε)-近似をO(n^{2/3+o(1)}ε^{-O(1)})のアムortィズド更新時間で達成し、以前のO(n^{5/6}ε^{-6})の境界を改善する。
• フレームワークは、静的オラクルで達成可能な最高の近似比（無作為ルーティング、距離オラクル、静的有効抵抗計算）を再現しながら、部分線形の動的更新時間を達成する。
• 本手法は一般性に富み、適切なストレッチとリカバリが有界な頂点スパーシファイアの維持に還元することで、複数の問題に適用可能である。