[論文レビュー] Fully Dynamic Matching in Bipartite Graphs

Aaron Bernstein, Clifford Stein|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、二部グラフにおける最大基数マッチングのための、最初の決定的完全動的アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、最悪計算時間 $O(m^{1/4} au^{-2.5})$ で $(3/2 + \epsilon)$-近似を達成し、$√m$ の障壁を打ち破る。また、スモールアーボリシティ $α$ を持つグラフに対しては、最悪計算時間 $O(\alpha(\alpha + \log n))$ で $(1+\epsilon)$-近似を達成し、従来の決定的手法に比べ顕著な改善を示す。

ABSTRACT

Maximum cardinality matching in bipartite graphs is an important and well-studied problem. The fully dynamic version, in which edges are inserted and deleted over time has also been the subject of much attention. Existing algorithms for dynamic matching (in general graphs) seem to fall into two groups: there are fast (mostly randomized) algorithms that do not achieve a better than 2-approximation, and there slow algorithms with $Ø(\sqrt{m})$ update time that achieve a better-than-2 approximation. Thus the obvious question is whether we can design an algorithm -- deterministic or randomized -- that achieves a tradeoff between these two: a $o(\sqrt{m})$ approximation and a better-than-2 approximation simultaneously. We answer this question in the affirmative for bipartite graphs. Our main result is a fully dynamic algorithm that maintains a $3/2 + \eps$ approximation in worst-case update time $O(m^{1/4}\eps^{/2.5})$. We also give stronger results for graphs whose arboricity is at most $\al$, achieving a $(1+ \eps)$ approximation in worst-case time $O(\al (\al + \log n))$ for constant $\eps$. When the arboricity is constant, this bound is $O(\log n)$ and when the arboricity is polylogarithmic the update time is also polylogarithmic. The most important technical developement is the use of an intermediate graph we call an edge degree constrained subgraph (EDCS). This graph places constraints on the sum of the degrees of the endpoints of each edge: upper bounds for matched edges and lower bounds for unmatched edges. The main technical content of our paper involves showing both how to maintain an EDCS dynamically and that and EDCS always contains a sufficiently large matching. We also make use of graph orientations to help bound the amount of work done during each update.

研究の動機と目的

• 最悪計算時間の高速化を実現しつつ、2未満の近似比を維持する、二部グラフにおける最大基数マッチングの完全動的アルゴリズムの設計。
• 決定的完全動的マッチングアルゴリズムにおいて長年の障壁であった $\sqrt{m}$ の更新時間の壁を打ち破ること。
• アーボリシティ $\alpha$ が定数または小さい二部グラフに対して、向上したパフォーマンスを達成すること。
• 従来の確率的アルゴリズムとは異なり、無作為な敵（oblivious adversary）を前提としない決定的解法を提供すること。
• エッジ次数制約付き部分グラフ（EDCS）の枠組みを、保証付きの最悪計算時間を持つ完全動的設定に拡張すること。

提案手法

• アルゴリズムは、最大マッチングを近似するスパarsな部分グラフを維持するためにエッジ次数制約付き部分グラフ（EDCS）を用いる。
• EDCSにおける完全エッジ（degree ≥ $\beta$）と不足エッジ（degree < $\beta^-$）を動的に維持する。ここで $\beta^- = \beta - \beta\lambda$ である。
• 各頂点が最悪でも $O(\sqrt{m})$ 個のエッジしか所有しないことを保証する動的オリエンテーションデータ構造を用いることで、効率的なエッジ照会が可能になる。
• エッジの挿入・削除に対して、増加／減少安全頂点で終わる短い交互路（alternating path）を、完全エッジと不足エッジを用いて探索し、EDCSのバランスを回復する。
• 頂点ベースのデータ構造を用いて、完全／不足エッジのリストを維持し、各照会で $O(1)$ 時間で隣接エッジを効率的に取得する。
• 各頂点あたりのエッジステータス変更回数を制限し、$\beta$ と $\beta^-$ のギャップ $\beta\lambda$ を活用することで、更新処理の均等化（amortization）を実現し、最悪計算時間を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的完全動的アルゴリズムが、$o(\sqrt{m})$ の更新時間で2未満の近似比を維持できるか？
• RQ2 アーボリシティ $\alpha$ が小さいグラフに対して、$(1+\epsilon)$-近似を $O(\alpha(\alpha + \log n))$ 時間で達成できるか？
• RQ3 最悪計算時間 $O(m^{1/4}\epsilon^{-2.5})$ で $(3/2 + \epsilon)$-近似マッチングを維持できるか？
• RQ4 EDCSフレームワークを、保証付き最悪計算時間を持つ完全動的更新に適応できるか？
• RQ5 これらの技術は、非二部グラフ、特にアーボリシティが小さいグラフへ一般化可能か？

主な発見

• 本稿では、最悪計算時間 $O(m^{1/4}\epsilon^{-2.5})$ で $(3/2 + \epsilon)$-近似マッチングを達成し、任意の定数近似比に対して、従来の決定的アルゴリズムより多項式的に高速である。
• アーボリシティが $\alpha$ 未満の二部グラフに対しては、定数 $\epsilon$ に対して最悪計算時間 $O(\alpha(\alpha + \log n))$ で $(1+\epsilon)$-近似マッチングを維持でき、従来の結果を改善する。
• 本アルゴリズムは、決定的完全動的マッチングにおいて $\sqrt{m}$ の更新時間の壁を打ち破り、任意の定数近似比でこれまでで最も良い知られていた結果を上回る。
• 最大負荷が制限された動的オリエンテーションの使用により、効率的なエッジ照会およびステータス更新が可能となり、最悪計算時間性能の実現に不可欠である。
• 完全エッジと不足エッジを用いた交互路構築により、更新処理は常に単純かつ短く、$O(1/\lambda)$ または $O(\beta)$ ステップで完了する。
• 本手法は、決定的最悪計算時間で2未満の近似比を達成する最初のものであり、任意の定数近似比において、現在知られている最速の決定的アルゴリズムである。