[論文レビュー] Feynman graphs, and nerve theorem for compact symmetric multicategories (extended abstract)

André Joyal, Joachim Kock|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、フェインマン図を組合せ的枠組みとして導入することにより、コンパクトな対称マルチカテゴリに向けた神経定理を確立する。コンパクトな対称マルチカテゴリは、このカテゴリ上のプレシェーブでセガル条件を満たすものとして正確に特徴づけられ、グラフィカル・スペシーズ上のモノイド的構造を用いて、カテゴリおよびマルチカテゴリに対する神経定理をモジュラー的・対称的設定へ一般化する。

ABSTRACT

We describe a category of Feynman graphs and show how it relates to compact symmetric multicategories (coloured modular operads) just as linear orders relate to categories and rooted trees relate to multicategories. More specifically we obtain the following nerve theorem: compact symmetric multicategories can be characterised as presheaves on the category of Feynman graphs subject to a Segal condition. This text is a write-up of the second-named author's QPL6 talk; a more detailed account of this material will appear elsewhere.

研究の動機と目的

• カテゴリおよびマルチカテゴリに対する神経定理を、カラーモジュラー・オペラッド（コンパクトな対称マルチカテゴリ）の設定に拡張すること。
• 複数の入力および出力をもつ演算を符号化するための組合せ的基盤として、フェインマン図のカテゴリを定義すること。
• コンパクトな対称マルチカテゴリが、フェインマン図のカテゴリ上のプレシェーブでセガル条件を満たすものと同値であることを確立すること。
• 自由・忘却随伴と、装飾付きグラフ上のモノイド構造を用いて、グラフィカル・スペシーズへのモノイド的アプローチを一般化すること。

提案手法

• 神経構成のインデックスカテゴリとして、線形順序（カテゴリの場合）および根付き木（マルチカテゴリの場合）を一般化するフェインマン図のカテゴリを導入する。
• 装飾付きグラフ上の合成作用を用いて、グラフィカル・スペシーズの圏上でモノイドを定義する。ここで、頂点は一致するインターフェースを持つ部分グラフに置き換えられる。
• このモノイドのクライスリー圏を構成し、Gr と表記する。この圏は、グラフから装飾付き部分グラフへの射を捉える。
• Gr において、一般写像（generic maps）は細分化に対応し、自由写像（free maps）はエタール準同型に対応する、一般写像／自由写像の分解系を確立する。
• この分解を用いて、コンパクトな対称マルチカテゴリからプレシェーブへの神経関手が完全忠実であることを証明する。
• 左カルン拡張およびシェーブ条件などの圏論的技法を用い、神経の像の本質的像がセガル条件を満たすプレシェーブであることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリおよびマルチカテゴリに対する神経定理を、コンパクトな対称マルチカテゴリの設定にどのように一般化できるか。
• RQ2 具体的には、どのようなグラフのカテゴリ——特に、このような神経定理のインデックスカテゴリとして機能する——が適切か。
• RQ3 グラフィカル・スペシーズ上のモノイド構造が、コンパクトな対称マルチカテゴリにおける演算の合成および対称性をどのように符号化するか。
• RQ4 セガル条件が、コンパクトな対称マルチカテゴリの神経として現れるプレシェーブを特徴づける際に果たす役割は何か。
• RQ5 フェインマン図の圏における一般写像／自由写像の分解が、単体圏 Δ における分解と類似した形で神経定理の証明に用いられるか。

主な発見

• コンパクトな対称マルチカテゴリからフェインマン図の圏上のプレシェーブへの神経関手は完全忠実である。
• フェインマン図の圏上のプレシェーブが神経関手の本質的像に属するのは、0頂点グラフの全部分圏への制限がセガル条件を満たす場合に限る。
• フェインマン図の圏は、単体圏 Δ のそれと類似した一般写像／自由写像の分解系を備えている。
• グラフィカル・スペシーズ上のモノイド構造は、頂点を一致するインターフェースを持つ部分グラフに置き換える合成作用から生じ、これがコンパクトな対称マルチカテゴリの定義の根幹をなす。
• この構成は、ゲッツラー＝カプラノフのモジュラー・オペラッドへのアプローチを一般化し、フェインマン図の圏が彼らの研究で用いられたグラフの圏の役割を果たす。
• コンパクトな対称マルチカテゴリに対する神経定理は、一般写像／自由写像の分解に依拠する左カルン拡張の保存性結果によって証明される。