[論文レビュー] Internal algebra classifiers as codescent objects of crossed internal categories

Mark Weber|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、交差内部カテゴリのコデセント対象を用いて、所定の内部代数的構造を含む普遍的な周囲構造を構成する、モノイド論的枠組みを導入する。これは、ローディーとフィエドロヴィッチの交差単体群を一般化し、特に多項式2-モノイドを通じて非対称的、対称的、およびバレイド型のオペラッドの文脈で、オペラッドから得られる既知の構成（例えばPROP）を回復する応用を含む。

ABSTRACT

Inspired by recent work of Batanin and Berger on the homotopy theory of operads, a general monad-theoretic context for speaking about structures within structures is presented, and the problem of constructing the universal ambient structure containing the prescribed internal structure is studied. Following the work of Lack, these universal objects must be constructed from simplicial objects arising from our monad-theoretic framework, as certain 2-categorical colimits called codescent objects. We isolate the extra structure present on these simplicial objects which enable their codescent objects to be computed. These are the crossed internal categories of the title, and generalise the crossed simplicial groups of Loday and Fiedorowicz. The most general results of this article are concerned with how to compute such codescent objects in 2-categories of internal categories, and on isolating conditions on the monad-theoretic situation which enable these results to apply. Combined with earlier work of the author in which operads are seen as polynomial 2-monads, our results are then applied to the theory of non-symmetric, symmetric and braided operads. In particular, the well-known construction of a PROP from an operad is recovered, as an illustration of our techniques.

研究の動機と目的

• 与えられた内部代数的構造を含む普遍的な周囲構造を構成するための一般的なモノイド論的文脈を開発すること。
• 周囲構造が2-カテゴリの内部カテゴリである場合に、そのような普遍的対象を体系的に構築する方法を提示すること。
• 交差単体群の概念を交差内部カテゴリへ一般化し、2-カテゴリにおけるコデセント対象の計算を可能にすること。
• 特に多項式2-モノイドを通じてオペラッドに応用し、オペラッドから得られる既知の構成（例えばPROP）を回復すること。
• モジュラー代数的理論における基礎的問題、特にモジュラー包とコスティェロとゲッツラップ＝カプラノフのモジュラー代数的定義の関係を明確にすること。

提案手法

• 2-モノイドの随伴から得られる単体的対象を用いて、2-カテゴリ内の内部カテゴリのコデセント対象として普遍的な周囲構造を形式化する。
• コデセント対象の計算を可能にする単体的対象上の構造として「交差内部カテゴリ」の概念を導入する。
• Cat 上の多項式2-モノイドの枠組みを用いて、オペラッド（非Σ自由型を含む）をモデル化し、それらを内部代数と関連付ける。
• 関連するモノイド論的データを特定し、内部代数分類子を計算することで、オペラッドからPROPを回復する理論を適用する。
• コデセント対象の2-圏的余極限構造を活用し、普遍的対象が対称モノイド構造と整合する形で内部代数を分類することを示す。
• 対称群の圏における単射的・単調な分解を用いて、射の同一性を分析し、普遍的構成で同型が恒等射に縮退することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、例えば対称モノイド圏のような指定された周囲型において、与えられた内部代数的構造を含む普遍的な周囲2-カテゴリを体系的に構成できるか？
• RQ2 2-カテゴリ内の単体的対象にどのような追加構造が与えられると、そのコデセント対象が計算可能になり、古典的な交差単体群の一般化が達成されるか？
• RQ3 オペラッドからPROPを構成する方法が、交差内部カテゴリのコデセント対象を用いたモノイド論的枠組み内で回復可能か？
• RQ4 2-モノイドの随伴から、内部代数分類子が交差内部カテゴリのコデセント対象として得られるための条件は何か？
• RQ5 モノイド論的アプローチは、コスティェロとゲッツラップ＝カプラノフのモジュラー代数的定義の関係をどのように明確にするか？

主な発見

• 代数的写像 Ass → Com の内部代数分類子は、モノイドを含む自由な対称的厳密モノイド圏 Σ∆ として特定され、これはPROP構成と一致する。
• 普遍的対象 (Com/Σ)Ass が、自然数を対象とし、m≠0 かつ n=0 のときには ∅ を、それ以外のときは単一元集合をホムセットとする、可換な厳密モノイド圏 C と同型であることが示された。
• 構成 (Com/Σ)Ass は、内部カテゴリの2-圏におけるコイデントラーとして実現され、すべての同型が恒等射に縮退する普遍的性質を持つ。
• Σ∆ の最大の部分群圏は対称群の圏 P に同定され、普遍的対象の基底圏は C のそれと一致する。
• 普遍的対象 (Com/Σ)Ass における対称モノイド構造は、普遍的モノイドが終対象 1 であるという要請によって一意に定まり、C のそれと一致する。
• 本稿では、可換モノイド圏における任意のモノイドが冪等的であることを確立し、非冪等的モノイドの存在が、可換モノイド圏への対称モノイド同値を妨げる要因であることを示した。