[論文レビュー] Finite Element Methods for the Stochastic Allen-Cahn Equation with Gradient-type Multiplicative Noises

Xiaobing Feng, Yukun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、勾配型の乗法的ノイズを伴う確率的Allen-Cahn方程式に対して、非線形項の時間積分戦略を異なるものとする2つの完全離散有限要素法を提案する。解の$L^2$および$H^1$ノルムにおける時間に関するホルダー連続性と、高次モーメントの有界性を証明することで、鋭い誤差率を伴う強収束を確立する。数値実験により、$\epsilon \to 0$ のときの確率的平均曲率流れへの収束が確認された。

ABSTRACT

This paper studies finite element approximations of the stochastic Allen-Cahn equation with gradient-type multiplicative noises that are white in time and correlated in space. The sharp interface limit as the parameter $ε ightarrow 0$ of the stochastic equation formally approximates a stochastic mean curvature flow which is described by a stochastically perturbed geometric law of the deterministic mean curvature flow. Both the stochastic Allen-Cahn equation and the stochastic mean curvature flow arise from materials science, fluid mechanics and cell biology applications. Two fully discrete finite element methods which are based on different time-stepping strategies for the nonlinear term are proposed. Strong convergence with sharp rates for both fully discrete finite element methods is proved. This is done with a crucial help of the Hölder continuity in time with respect to the spatial $L^2$-norm and $H^1$-seminorm for the strong solution of the stochastic Allen-Cahn equation, which are key technical lemmas proved in paper. It also relies on the fact that high moments of the strong solution are bounded in various spatial and temporal norms. Numerical experiments are provided to gauge the performance of the proposed fully discrete finite element methods and to study the interplay of the geometric evolution and gradient-type noises.

研究の動機と目的

• 確率的摂動下での相転移をモデル化する勾配型乗法的ノイズを伴う確率的Allen-Cahn方程式に対する、頑健な数値スキームの開発。
• 非線形性および確率的性質を考慮した完全離散有限要素法の強収束と最適誤差率の確立。
• 解の時間的正則性の厳密な解析。特に、$L^2$および$H^1$ノルムにおける時間に関するホルダー連続性は、主な技術的貢献である。
• 理論的結果の妥当性を数値実験により検証し、$\epsilon \to 0$ のときの確率的平均曲率流れへの収束を示す。
• 相場面モデルにおける幾何的発展（平均曲率流れ）と勾配型ノイズの相互作用の解明。

提案手法

• 非線形項$f(u) = u^3 - u$の時間離散化戦略を異にする2つの完全離散有限要素法を提案する。
• 空間方向には$P_1$の従属有限要素を用い、時間方向にはクランクニコルソンまたは後退オイラー法を用いた陰的時間積分を行う。
• 誤差推定の根幹をなすのは、強い解の$L^2$および$H^1$ノルムにおける時間に関するホルダー連続性の証明である。
• 確率的項の制御と収束の保証のため、さまざまなノルムにおける解の高次モーメントの有界性を確立する。
• スパナス確率微分方程式（SPDE）の伊藤形を用い、ノイズ項$\delta \nabla u \cdot X \circ dW(t)$を補正項$\frac{\delta^2}{2} \nabla(\nabla u \cdot X) \cdot X$を用いて伊藤形に変換する。
• 事前推定と離散エネルギー法を用いて、確率的および期待値の両方における最適収束率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配型乗法的ノイズを伴う確率的Allen-Cahn方程式に対する完全離散有限要素法の最適収束率は何か？
• RQ2 解の$L^2$および$H^1$ノルムにおける時間に関するホルダー連続性が、誤差解析および収束率にどのように影響するか？
• RQ3 数値スキームは、$\epsilon \to 0$ のときの確率的平均曲率流れへの収束を正確に捉えられるか？
• RQ4 ノイズ強度$\delta$と界面厚さ$\epsilon$は、数値解におけるゼロレベル集合の進化にどのように影響するか？
• RQ5 解の有界な高次モーメントは、有限要素スキームの安定性および収束性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、2つの完全離散有限要素法について、$L^2$ノルムでは$O(h^2 + \tau)$、$H^1$セミノルムでは$O(h + \tau^{1/2})$の収束順序を伴う強収束を証明した。
• $L^2$および$H^1$ノルムの両方において、解の時間に関するホルダー連続性指数$1/2$が確立され、誤差解析に不可欠な技術的補題となった。
• 解の高次モーメントは時間的および空間的に一様に有界であり、誤差推定における確率的項の制御が可能になった。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、期待値のゼロレベル集合が$\epsilon \to 0$ のとき確率的平均曲率流れに収束することが示された。
• ノイズ強度$\delta$が大きいほど界面の進化が速くなり、形状変化が顕著に現れる。これは確率的幾何モデルと整合的である。
• 固定された$\delta$に対して、$\epsilon$が大きいほど界面の進化が速くなり、$\epsilon$が小さくなるにつれてゼロレベル集合は確率的平均曲率流れに収束する。