[論文レビュー] Finite reducibility of maximal infinite dimensional measurable cocycles of complex hyperbolic lattices

Filippo Sarti, Alessio Savini|arXiv (Cornell University)|May 21, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\Gamma < \mathrm{PU}(n,1)$ が torsion-free lattice であるとき、可測コサイクル $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$ に対するToledo不変量を導入し、任意の最大なコサイクルが有限次元的還元可能であることを証明する—つまり、有限次元的代数的部分群 $\mathrm{PU}(p, np) \subset \mathrm{PU}(p,\infty)$ に値をとるコサイクルとコhomologous である。この結果は、表現理論における剛性のアイデアを可測コサイクルの文脈へ拡張し、複素双曲的格子における最大コサイクルの特徴付けを完成させる。

ABSTRACT

Given $\Gamma < ext{PU}(n,1)$ a torsion-free lattice and $(X,\mu_X)$ a standard Borel $\Gamma$-space, we introduce the notion of Toledo invariant of a measurable cocycle $\sigma:\Gamma imes X ightarrow ext{PU}(p,\infty)$. Since that invariant has bounded absolute value, it makes sense to speak about maximality. We prove that any maximal measurable cocycle is finitely reducible, that is it admits a cohomologous cocycle with image contained in a copy of $ ext{PU}(p,np)$ inside $ ext{PU}(p,\infty)$, which is a finite algebraic subgroup. Even if we do not provide a real rigidity result in this setting, our statement can be seen as the natural adaption of the results for representations due to Duchesne, Lecureux and Pozzetti. We conclude the paper by completing the analysis of maximal cocycles of complex hyperbolic lattices started in \cite{sarti:savini} with a characterization of their algebraic hull.

研究の動機と目的

• 可測コサイクル $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$ に対して、$\Gamma < \mathrm{PU}(n,1)$ が torsion-free 格子である場合の Toledo 不変量を定義すること。
• 最大コサイクル（最大 Toledo 不変量の意味で）が有限次元的還元可能である、すなわち、有限次元的代数的部分群 $\mathrm{PU}(p, np)$ に値をとるコサイクルとコhomologous であることを確立すること。
• 複素双曲的格子の文脈において、表現理論からの剛性型結果を可測コサイクルフレームワークへ拡張すること。
• \cite{sarti:savini} での先行研究に基づき、最大可測コサイクルの代数的ハルを特徴付けることで、最大コサイクルの分類を完成させること。

提案手法

• 有界コホモロジーの技法を用いて、可測コサイクル $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$ に対する Toledo 不変量を定義する。
• Toledo 不変量の有界性を確立し、最大性の概念を可能にする。
• $\mathrm{PU}(p,\infty)$ が $\mathrm{PU}(p,n)$ の帰納的極限としての構造を持つことを利用して、コサイクルの像を分析する。
• コホモロジー的技法を用いて、最大コサイクルが有限次元的部分群 $\mathrm{PU}(p, np)$ に値をとるコサイクルとコhomologous であることを示す。
• 複素双曲的格子の幾何構造と Shilov 境界への作用を活用して、コサイクルの振る舞いを制御する。
• 代数的閉包を $\mathrm{PU}(p,\infty)$ 内で分析することで、最大コサイクルの代数的ハルの特徴付けを完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測コサイクル $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$ に対して、$\Gamma < \mathrm{PU}(n,1)$ の場合に Toledo 不変量を意味的に定義可能か？
• RQ2 最大可測コサイクル（最大 Toledo 不変量の意味で）は常に有限次元的還元可能か、すなわち、有限次元的部分群 $\mathrm{PU}(p, np)$ に値をとるコサイクルとコhomologous か？
• RQ3 最大可測コサイクルの代数的ハルは、ターゲット群 $\mathrm{PU}(p,\infty)$ の構造とどのように関係するか？
• RQ4 有限次元的還元可能性の結果は、複素双曲的格子の文脈における表現の剛性定理とどの程度類似しているか？

主な発見

• 可測コサイクル $\sigma: \Gamma \times X \to \mathrm{PU}(p,\infty)$ に対する Toledo 不変量は、絶対値で有界であり、最大性の概念を可能にする。
• 任意の最大可測コサイクルは、有限次元的代数的部分群 $\mathrm{PU}(p, np) \subset \mathrm{PU}(p,\infty)$ に値をとるコサイクルとコhomologous である。これにより、有限次元的還元可能性が確立される。
• 有限次元的還元可能性の結果は、完全な剛性がなくても、表現理論からの剛性のアイデアを可測コサイクルの文脈へ一般化する。
• 最大可測コサイクルの代数的ハルは、有限次元的部分群 $\mathrm{PU}(p, np)$ に含まれることが完全に特徴付けられ、\cite{sarti:savini} で始まった解析を完成させる。
• この結果は、Duchesne-Lecureux-Pozzetti の表現に対する剛性結果の自然な類似物を、可測コサイクルの文脈に適応したものである。
• $\mathrm{PU}(p,\infty)$ が $\mathrm{PU}(p,n)$ の帰納的極限としての構造を持つことは、有限次元的還元可能性を示すために不可欠である。