[論文レビュー] Fixed-Parameter Algorithms in Analysis of Heuristics for Extracting Networks in Linear Programs

Gregory Gutin, Daniel Karapetyan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形計画法における最大サイズの反射ネットワークを抽出するためのSGAヒューリスティクスを、最適性の確認に固定パラメータアルゴリズムを用いて評価する。ほとんどのテストインスタンスを最適に解くことで、SGAが高品質な解を生成することを確認し、スパニングツリー構築における深さ優先探索（DFS）がSGAの成功の鍵要因であることが判明。これにより、54個の解けるインスタンスのうち50個で最適解を達成する優れたSGA80(DFS)変種が得られた。

ABSTRACT

We consider the problem of extracting a maximum-size reflected network in a linear program. This problem has been studied before and a state-of-the-art SGA heuristic with two variations have been proposed. In this paper we apply a new approach to evaluate the quality of SGA\@. In particular, we solve majority of the instances in the testbed to optimality using a new fixed-parameter algorithm, i.e., an algorithm whose runtime is polynomial in the input size but exponential in terms of an additional parameter associated with the given problem. This analysis allows us to conclude that the the existing SGA heuristic, in fact, produces solutions of a very high quality and often reaches the optimal objective values. However, SGA contain two components which leave some space for improvement: building of a spanning tree and searching for an independent set in a graph. In the hope of obtaining even better heuristic, we tried to replace both of these components with some equivalent algorithms. We tried to use a fixed-parameter algorithm instead of a greedy one for searching of an independent set. But even the exact solution of this subproblem improved the whole heuristic insignificantly. Hence, the crucial part of SGA is building of a spanning tree. We tried three different algorithms, and it appears that the Depth-First search is clearly superior to the other ones in building of the spanning tree for SGA. Thereby, by application of fixed-parameter algorithms, we managed to check that the existing SGA heuristic is of a high quality and selected the component which required an improvement. This allowed us to intensify the research in a proper direction which yielded a superior variation of SGA.

研究の動機と目的

• 線形計画法における最大サイズの反射ネットワークを抽出する最先端のSGAヒューリスティクスの品質を評価すること。
• SGAヒューリスティクスが一貫して最適または近似的最適な解を発見するかを特定すること。
• SGAのどのコンponentが解の品質に最も寄与しているかを特定し、改善の対象とすること。
• ヒューリスティクスコンponentを正確な固定パラメータアルゴリズムに置き換える影響を評価すること。
• スパニングツリー構築—特に最も重要なコンponentに焦点を当てて、より優れたSGA変種を開発すること。

提案手法

• 最大埋め込み反射ネットワーク（DMERN）問題を、93インスタンス中54インスタンスについて固定パラメータアルゴリズムで最適に解いた。
• 最適解との比較により、固定パラメータアルゴリズムを用いてSGAヒューリスティクスの解を評価した。
• SGA内のグリーディ独立集合アルゴリズムを、固定パラメータ頂点被覆ベースの正確アルゴリズムに置き換えた。
• SGA内のスパニングツリー構築法を、深さ優先探索（DFS）、幅優先探索（BFS）、ランダムサーチ（RS）の3つの代替手法に置き換えた。
• テストベッド上で改良されたSGA変種（SGA(DFS)、SGA3(DFS)、SGA80(DFS)、SGA(DFS)+VC）の性能を評価した。
• 独立集合部分問題に対する正確アルゴリズムを実装するために、独立集合と頂点被覆の補完性を活用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SGAヒューリスティクスは、最大反射ネットワーク抽出問題において最適解に近い解を生成するか？
• RQ2 SGAヒューリスティクスのどのコンponent—スパニングツリー構築か、独立集合探索か—が解の品質に最も寄与しているか？
• RQ3 グリーディ独立集合アルゴリズムを正確な固定パラメータアルゴリズムに置き換えることで、SGAの性能が著しく向上するか？
• RQ4 スパニングツリー構築に深さ優先探索（DFS）を使用すると、BFS やランダムサーチに比べて優れているか？
• RQ5 固定パラメータアルゴリズムを組合せ最適化におけるヒューリスティクスの評価と改善に効果的に応用できるか？

主な発見

• 固定パラメータアルゴリズムは93インスタンス中54インスタンスを最適に解き、そのうち52インスタンスが1分以内に完了した。
• SGA(DFS)は54個の解けるインスタンスのうち36個で最適解を達成し、SGA3(DFS)は44個、SGA80(DFS)は50個で達成。DFSの優位性が明確になった。
• グリーディ独立集合アルゴリズムを正確な固定パラメータアルゴリズム（頂点被覆を介して）に置き換えても、4インスタンスでのみ解が改善され、実行時間の高さにより実用的ではなかった。
• SGA(DFS)+VCは6インスタンスで30分以内に終了しなかったが、SGA80(DFS)は効率的かつ正確に動作した。
• SGA80(DFS)変種は、利用可能な54インスタンスのうち50個で最適解を達成し、他の変種を大きく上回り、はるかに短時間で正確な性能を発揮した。
• 本研究では、スパニングツリー構築法がSGAの性能において決定的要因であり、テストされた手法の中でDFSが最も効果的であることが確認された。