[論文レビュー] Fixed Parameter Inapproximability for Clique and SetCover in Time Super-exponential in OPT

Mohammad Taghi Hajiaghayi, Rohit Khandekar+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、指数時間仮説（ETH）の下で、最適値（opt）に関して超指数的時間で実行される固定パラメータ近似不可能性結果を、最大クリーク問題および最小セットカバー問題について初めて確立した。著者らはギャップ還元における最適値の低減に新たな技術を導入し、任意の非減少関数 $r$ および $t$ に対して、これらが超多項式的および超指数的成長を示す場合を含め、$(r,t)$-FPT-hard であることを証明した。これにより、先行研究のFPT近似不可能性結果を強化した。

ABSTRACT

In this paper, we consider proving inapproximability in terms of OPT and thus we base the foundations of fixed parameter inapproximability.

研究の動機と目的

• 最適値（opt）をパラメータとして用いることで、CliqueおよびSetCoverの固定パラメータ近似不可能性結果をより強く確立すること。
• 従来のFPT-hardness結果が最適値に関して指数的未満の実行時間しか達成できなかったという制限を克服し、最適値に関して超指数的実行時間を目指すこと。
• 最適値に関して超指数的実行時間 $t(\text{opt})$ を有する、CliqueおよびSetCoverの近似不可能性結果を初めて得ることで、FellowsのFPT-hardnessに関する予想を裏付けること。
• ギャップ還元における最適値を低減するための体系的な技術を開発すること。

提案手法

• 指数時間仮説（ETH）の下で3-SATからのギャップ還元を用い、構造的変換により「yes」インスタンスにおける最適値を著しく低減したインスタンスを構築した。
• クリーク問題に関しては、3-SAT式を、満たす割り当てがサイズ $f(q)$ のクリークに対応するグラフ構成に還元する手法を設計した。ここで $f(q)$ は任意にゆっくり成長する関数である。
• 最小最大独立集合問題（MMIS）に関しては、「yes」インスタンスではMMISサイズが $f(q)$ である一方で、「no」インスタンスでは少なくとも $q$ のサイズを要するグラフを構築し、大きなギャップを生じさせた。
• 「yes」インスタンスにおける最適値を、適切に選択された割り当て集合とスーパーバーテックスを用いて、新たな最適値に対して相対的に大きなギャップが保たれるように低減する、新しい技術を適用した。
• 任意の非減少関数 $r$ および $t$ に対して、$t(\text{opt}) = 2^{o(\text{opt})}$ である $(r,t)$-FPT近似アルゴリズムが存在すればETHに反するように還元を設計した。これにより、任意の非減少関数 $r$ および $t$ に対して、$(r,t)$-FPT-hard であることを証明した。
• この技術を一般化し、MMISが任意の関数 $r$ および $t$ に対して、たとえそれらが任意に速く成長する場合でも、$(r,t)$-FPT-hard であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CliqueおよびSetCoverが、任意の非減少関数 $r$ および $t$ に対して、$t(\text{opt})$ が最適値に関して超指数的である場合に、$(r,t)$-FPT-hard であることが示せるか？
• RQ2 CliqueおよびSetCoverのギャップ還元において、最適値を低減しつつ、「yes」と「no」インスタンス間のギャップを大きく保てるか？
• RQ3 CliqueおよびMMISに用いられた技術を、W[1]-hardまたはW[2]-hardな他の問題へ一般化し、最適値に関して超指数的近似不可能性を達成できるか？
• RQ4 ランダムサンプリングは、W[1]-またはW[2]-hardな問題に対して、ギャップを保ちつつ最適値を低減するのに役立つか？
• RQ5 最適値の低減を体系的に活用することで、従来W[1]-hardとして知られていた問題に対して、より強いFPT近似不可能性結果を証明できるか？

主な発見

• 指数時間仮説（ETH）の下で、Cliqueは任意の非減少関数 $r$ に対して $r(\text{opt}) = 1/(1-\epsilon)$（$ε > 0$）であり、任意の関数 $t$ に対して、$t(\text{opt}) = 2^{o(\text{opt})}$ である場合に、$(r,t)$-FPT-hard である。
• 本稿は、FeigeとKilianの結果を改善し、最適値に関して超指数的実行時間の近似不可能性を達成した。これは、単に指数的未満の実行時間にとどまらない。
• 最小最大独立集合（MMIS）問題に関しては、任意の非減少関数 $r$ および $t$ に対して、$t$ が任意に速く成長する場合でも、$(r,t)$-FPT-hard であることを証明した。
• 還元における「yes」インスタンスの最適値は $f(q)$ にまで低減され、ここで $f(q)$ は任意にゆっくり成長する関数である。これにより、より強い近似不可能性バウンドが得られた。
• 「yes」と「no」インスタンス間のギャップは $q/f(q)$ よりも大きいことが示され、これは $t(\text{opt}) = 2^{o(q)}$ である任意の $(r,t)$-FPT近似がETHに反するため、矛盾を引き起こす。
• 還元技術は頑健であり、Clique、SetCover、MMISの3つの異なる問題に適用可能であり、広範な適用可能性を示した。