[論文レビュー] Fixed-point algebras for proper actions and crossed products by homogeneous spaces

Astrid an Huef, S. Kaliszewski+2 more|ArXiv.org|Jul 3, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、固有作用および同次空間の文脈において、リエッフェルの固定点代数とクローズド積の間のモラータ同値性を自然なファンクター的枠組みで確立する。同定は、同次空間 G/H に対するコアクションによるクローズド積の表現に関する段階的誘導定理を、リエッフェル理論の双モジュラーを用いて構成することで、固定点代数とモラータ同値性の自然な可換図式を実現する。

ABSTRACT

We consider a fixed free and proper action of a locally compact group $G$ on a space $T$, and actions $α:G o \Aut A$ on $C^*$-algebras for which there is an equivariant embedding of $(C_0(T), t)$ in $(M(A),α)$. A recent theorem of Rieffel implies that $α$ is proper and saturated with respect to the subalgebra $C_0(T)AC_0(T)$ of $A$, so that his general theory of proper actions gives a Morita equivalence between $A times_{α,r}G$ and a generalised fixed-point algebra $A^α$. Here we investigate the functor $(A,α)\mapsto A^α$ and the naturality of Rieffel's Morita equivalence, focusing in particular on the relationship between the different functors associated to subgroups and quotients. We then use the results to study induced representations for crossed products by coactions of homogeneous spaces $G/H$ of $G$, which were previously shown by an Huef and Raeburn to be fixed-point algebras for the dual action of $H$ on the crossed product by $G$.

研究の動機と目的

• 固有作用の文脈において、縮小クローズド積と一般化固定点代数の間のリエッフェルのモラータ同値性の自然性およびファンクター性を調査すること。
• 閉部分群 H ⊆ G に対する同次空間 G/H のコアクションによるクローズド積の理論を拡張し、特に部分群包含における固定点代数の構造に焦点を当てる。
• リエッフェルの同値性から得られる双モジュラーを用いて、同次空間によるクローズド積の表現の体系的誘導過程を構築すること。
• 入れ子になった部分群 H ⊂ K ⊂ L に対する固定点代数とモラータ同値性の可換図式を構築し、段階的誘導を実現すること。
• 固定点代数の文脈におけるグリーンの誘導写像と制限写像の双対性を理解するための圏論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 局所コンパクト群 G が空間 T に自由かつ固有に作用する場合に、その半コンma圏を用いて、G-不変埋め込み φ: C₀(T) → M(A) を持つ三つ組 (A, α, φ) の圏をモデル化する。
• リエッフェルの固有かつ飽和的作用の理論を適用し、縮小クローズド積 A ⋊ᵣ,α G が一般化固定点代数 A^α ⊆ M(A) にモラータ同値であることを示し、不変な稠密部分代数として φ(C_c(T))Aφ(C_c(T)) の自然な選択を行う。
• 関手 Fix: (A, α, φ) ↦ A^α を構成し、リエッフェルの双モジュラーを用いてその自然性を証明し、適切な圏におけるモラータ同値性が自然同型であることを示す。
• 閉部分群 H ⊆ G に対して (T, G) = (G, H) の場合に一般枠組みを適用し、固定点代数を同次空間 G/H によるクローズド積として特定する。
• リエッフェル同値性を実現する双モジュラーを用いて、G/H のコアクションによるクローズド積の表現の誘導過程を定義する。
• 複数の固定点代数と包含写像を含む重要な図式の可換性を証明し、逐次的連続拡張および乗法的代数の同型を用いて、段階的誘導性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有作用の文脈において、クローズド積と固定点代数の間のリエッフェルのモラータ同値性をどのように自然かつファンクター的に定式化できるか？
• RQ2 同次空間 G/H のコアクションによるクローズド積の固定点代数と誘導表現の関係は何か？
• RQ3 リエッフェル理論の双モジュラーを用いて、G/H のコアクションによるクローズド積の表現に対して段階的誘導定理を確立できるか？
• RQ4 入れ子になった部分群 H ⊂ K ⊂ L に対する固定点代数は包含写像および制限写像の下でどのように作用するか？
• RQ5 固定点代数とモラータ同値性の図式は可換であり、かつ段階的誘導性を符号化しているか？

主な発見

• 三つ組 (A, α, φ) の圏において、A ⋊ᵣ,α G と一般化固定点代数 A^α の間のモラータ同値性は、双モジュラー Z(A, α, φ) によって自然同型であることが示された。
• 固定点代数 A^α は M(A) に自然に埋め込まれており、この包含写像は逐次的連続であるため、乗法的代数への同型の拡張が可能である。
• G にコアクション δ を持つ B と閉部分群 H に対して、B ⋊_δ G における H の双対作用の固定点代数は B ⋊_δ (G/H) に同型であり、マンスフィールドの不変性定理を任意の閉部分群に拡張する。
• 同次空間によるクローズド積の表現の誘導過程は、リエッフェルの同値性を実現する双モジュラーを用いて実現され、段階的誘導性を満たす。
• 複数の固定点代数と包含写像を含む可換図式が構築され、上部、右部、下部の経路はそれぞれ双モジュラー Z_{G/K}^{G/H}(B, δ)、Z_{G/L}^{G/K}(B, δ)、Z_{G/L}^{G/H}(B, δ) に対応する。
• 図式の可換性は、上部と下部の経路に沿った写像の合成が同じホモーモルフィズムの逐次的連続拡張であることを示すことにより証明され、したがって等しいことが示された。