[論文レビュー] Fluid limit of a heavily loaded EDF queue with impatient customers

Laurent Decreusefond, Pascal Moyal|ArXiv.org|Dec 30, 2005

Advanced Queuing Theory AnalysisBusiness, Management and Accounting参考文献 8被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、残存時間クレジットを追跡する測度値過程を用いて、不満足な顧客を有する過負荷状態のEarliest-Deadline-First（EDF）キューの流れ限界を確立する。流れ限界は統合輸送方程式を満たすことが示され、待ち行列および失効した顧客の数の正規化された近似が決定論的流れレベル過程によって可能になる。

ABSTRACT

In this paper we present the fluid limit of an heavily loaded Earliest Deadline First queue with impatient customers, represented by a measure-valued process keeping track of residual time-credits of lost and waiting customers. This fluid limit is the solution of an integrated transport equation. We then use this fluid limit to derive fluid approximations of the processes counting the number of waiting and already lost customers.

研究の動機と目的

• 到着した顧客が期限を有し、適切なタイミングで処理されない場合に離脱する過負荷状態のEDFキューの流れ限界を分析すること。
• 待ち行列および失効した顧客の残存時間クレジットを追跡する測度値過程を用いてシステムをモデル化すること。
• 過負荷状態における待ち行列および失効した顧客の数の決定論的流れ近似を導出すること。
• 確率的キューイング過程とその流れスケール限界との間の厳密な関係を輸送方程式を通じて確立すること。

提案手法

• 各顧客をその残存時間クレジットに対応する単位質量として表す測度値マルコフ過程としてシステムをモデル化すること。
• 到着、退去、および時間クレジットの単位レートによる連続的減少を組み込んだ過程の無限小生成子を導出すること。
• 時間クレジットの連続的減少に起因する空間微分項を、分布的微積分を用いて厳密に定義すること。
• 生成子から導出された統合輸送方程式の解として流れ限界を確立すること。
• 過程を正規化し、測度空間における関数空間内での弱収束を示して、決定論的流れ限界への収束を証明すること。
• 流れ限界を用いて、待ち行列および失効した顧客を数える正規化過程の近似を実行すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 過負荷状態下における不満足な顧客を有するEDFキューの流れスケール挙動は何か？
• RQ2 連続的減少メカニズムを有する測度値マルコフ過程として、残存時間クレジット過程はどのようにモデル化できるか？
• RQ3 システムの平均挙動を流れスケールで記述する制限された決定論的方程式は何か？
• RQ4 流れ限界は、待ち行列および失効した顧客の数の近似にどのように利用できるか？
• RQ5 流れ限界とM/GI/∞およびM/M/1キューにおける不満足性に関する既知の結果との関係は何か？

主な発見

• 不満足な顧客を有するEDFキューの流れ限界は、連続的時間クレジット減少に起因する空間微分項を含む統合輸送方程式の解である。
• 正規化された待ち行列の顧客数は、$\left(1 + (\lambda - \mu)t\right)^+ \mathbf{1}_{\left\{t \leq \frac{\rho d - \mu^{-1}}{\rho - 1}\right\}} + \lambda d \, \mathbf{1}_{\left\{t \geq \frac{\rho d - \mu^{-1}}{\rho - 1}\right\}}$ で与えられる流れ過程に流れ的に収束する。
• 正規化された失効した顧客数は、$\left(1 + \lambda(t - d) - \mu t\right)^+ \mathbf{1}_{\left\{t \geq \frac{\rho d - \mu^{-1}}{\rho - 1}\right\}}$ に流れ的に収束する。
• サービスレートをゼロに設定した場合、流れ限界はM/GI/∞システムにおける既知の結果を回復し、先行研究と整合性を確認する。
• 流れ近似は、EDFシステムにおける損失確率の評価に向けた数値シミュレーションの代替として、取り扱いやすい決定論的代替手段を提供する。
• 本手法は一般のサービス時間分布に拡張可能であり、過負荷状態下でのパフォーマンス指標の漸近的分析を可能にする。