[論文レビュー] Fold cobordisms and stable homotopy groups

Boldizsár Kalmár|ArXiv.org|Apr 24, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、n ≥ 1 および q > 0 の場合、(n+q)-多様体から R^n への折り畝写像のコボルディズム群が、球面の安定ホモトピー群および実射影空間のコボルディズム群に同型な直接和成分を含むことを確立している。特筆すべきは、特異点集合とその埋め込みから得られる幾何的不変量を用いて、これらの安定ホモトピー群が、向き付け可能および非向き付け可能な両方の折り畝写像のコボルディズム群に直接和成分として現れることを示している。

ABSTRACT

We show that the cobordism groups of negative codimensional folds maps contain direct sums of stable homotopy groups of Thom spaces of vector bundles like the circle and the infinite dimensional projective space. We give geometrical invariants which detect these direct summands.

研究の動機と目的

• 折り畝写像のコボルディズム群に現れる代数的不変量を同定し、それが安定ホモトピー群を反映するものであることを明らかにすること。
• q > 0 の場合、(n+q)-多様体から R^n への折り畝写像のコボルディズム群の構造を特定すること。
• 微分トポロジー的およびホモトピー論的技法を用いて、モース関数および折り畝写像に関する既知の結果を、より高いcodimensionへと拡張すること。
• 球面および RP∞ の安定ホモトピー群が、折り畝写像のコボルディズム群に直接和成分として現れることを示すこと。
• ボルディズムおよび埋め込み不変量を用いて、アンドウのモース関数に関する結果を、より高いcodimensionの折り畝写像へと一般化すること。

提案手法

• 二次形式を用いた局所モデルを備えた折り畝写像を定義し、指数 λ による特異点の分類を行う。
• 折り畝写像 f の特異点集合 S_f を、(n-1)-次元部分多様体とみなし、f|S_f がcodimension 1 の埋め込みであることを用いる。
• これらの埋め込みのコボルディズム類を用いて幾何的不変量を構成し、特に群 Imm(n-1,1) 及びその変種を用いる。
• RP^{2k} 上の折り畝写像とマッピングシリンダーの構成を介して、Imm(n-1,1) から Cob_f(n+q, -q) への準同型を確立する。
• 逆写像と順写像の合成が恒等写像であることを証明し、Imm(n-1,1) が直接和成分として埋め込まれることを示す。
• 合成写像の同型型を用いて、コボルディズム群が、Imm(n-1,1) 及び関連群のコピーの直和を含むことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 1 および q > 0 のとき、(n+q)-多様体から R^n への折り畝写像のコボルディズム群が、球面の (n-1) 番目の安定ホモトピー群を直接和成分として含む条件は何か？
• RQ2 折り畝写像の特異点集合の構造は、スモーサー空間の安定ホモトピー群とどのように関係するか？
• RQ3 q および n がどのような値をとるときに、非向き付け可能な折り畝写像のコボルディズム群が、RP∞ の n 番目の安定ホモトピー群を直接和成分として含むか？
• RQ4 具体的に、折り畝写像の幾何的不変量（特に特異点埋め込みのコボルディズム類）は、コボルディズム群の torsion を検出できるか？
• RQ5 折り畝写像のコボルディズム群は、安定ホモトピー群を含む直和にどの程度まで分解可能か？

主な発見

• n ≥ 1 および q > 0 のとき、(n+q)-多様体から R^n への向き付け可能な折り畝写像のコボルディズム群には、球面の (n-1) 番目の安定ホモトピー群のコピーが ⌊(q+1)/2⌋ 個分、直接和成分として含まれる。
• k ≥ 1 および q = 2k - 1 のとき、(n+q)-多様体から R^n への非向き付け可能な折り畝写像のコボルディズム群には、RP∞ の n 番目の安定ホモトピー群が直接和成分として含まれる。
• 証明は、Imm(n-1,1) と Cob_f(n+q, -q) 間の写像の合成によるコボルディズム群の分解に依拠しており、その合成が恒等写像であることを示している。
• 折り畝写像の幾何的不変量（特に特異点埋め込みのコボルディズム類）は、スモーサー空間の構成を介して、安定ホモトピー群を検出可能である。
• ボルディズム群に対しても同様の結果が成り立ち、同じ安定ホモトピー群が、ボルディズム群 Bor_f^(O)(n+q, -q) の直接和成分として現れる。
• これらの結果は、特に小さな素数 p に対して、折り畝写像のコボルディズム群における p- torsion を計算することは極めて非自明であることを示唆している。