[論文レビュー] Fractional Calculus on Time Scales

Nuno R. O. Bastos|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 96被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、離散的時間スケール $\mathbb{Z}$ および $(h\mathbb{Z})_a$ における新しい分数階微積分の変分法を導入し、新しい分数階和分部分積分公式を用いて、第一および第二の必要最適性条件を確立する。時間スケールに一般化されたラプラス変換の逆変換を用いて、任意の時間スケールにおける分数階微分および積分の定義を提案し、Maximaを用いた数値的検証と具体例を通じて検証する。

ABSTRACT

We introduce a discrete-time fractional calculus of variations on the time scales $\mathbb{Z}$ and $(h\mathbb{Z})_a$. First and second order necessary optimality conditions are established. Some numerical examples illustrating the use of the new Euler-Lagrange and Legendre type conditions are given. We also give new definitions of fractional derivatives and integrals on time scales via the inverse generalized Laplace transform.

研究の動機と目的

• 離散的時間スケール $\mathbb{Z}$ および $(h\mathbb{Z})_a$ における分数階微積分の変分法フレームワークを構築すること。
• これらの定義域における分数階変分問題の第一および第二の必要最適性条件を確立すること。
• 逆一般化ラプラス変換を用いて、任意の時間スケールにおける分数階微分および積分の新しい定義を導入すること。
• 新しいオイラー＝ラグランジュおよびレジェンドル型最適性条件の数値的例示を提供すること。
• Maxima計算代数システムを用いて理論的結果を実装および検証すること。

提案手法

• 時間スケール $\mathbb{Z}$ における分数階和分部分積分公式を導出し、変分解析を可能にする。
• 逆一般化ラプラス変換を適用して、任意の時間スケールにおける分数階微分および積分を定義する。
• 離散的分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を用いて第一の必要最適性条件を確立する。
• ラグランジアンの第二階偏微分を含む、最適性に関する第二階のレジェンドル型必要条件を導出する。
• Maximaにおける記号計算を用いて、導出された最適性条件を特定の変分問題に実装およびテストする。
• 左および右の分数階差分をモデル化するために、離散的分数階作用素 $\Delta_a^{\alpha}$ および $\Delta_b^{-\beta}$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微積分の変分法を離散的時間スケール $\mathbb{Z}$ および $(h\mathbb{Z})_a$ にどのように拡張できるか？
• RQ2 離散的時間スケールにおける分数階変分問題の第一および第二の必要最適性条件は何か？
• RQ3 逆一般化ラプラス変換を用いて、任意の時間スケールにおける分数階微分および積分を一貫して定義する方法は何か？
• RQ4 分数階和分部分積分公式が最適性条件を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ5 新しい最適性条件は、記号計算ツールを用いてどのように数値的に検証され、応用されるか？

主な発見

• 時間スケール $\mathbb{Z}$ に対して新しい分数階和分部分積分公式が導出され、必要最適性条件の導出を可能にする。
• 左および右の分数階差分を含む離散的分数階オイラー＝ラグランジュ方程式の形で、第一の必要最適性条件が確立される。
• ラグランジアンの第二階偏微分および分数階積分項を含む、レジェンドル型の第二階の必要最適性条件が導出される。
• 提案された任意の時間スケールにおける分数階微分および積分の定義は、逆一般化ラプラス変換に基づいており、連続的分数階微積分に極限で整合することを保証する。
• 数値的例示により、新しいオイラー＝ラグランジュおよびレジェンドル型条件の応用が示され、Maximaコードによる検証が行われる。
• Maximaによる実装は、極値曲線の計算および最適性条件の検証に成功し、記号計算による理論的枠組みの妥当性を確認する。