[論文レビュー] Fractional G-White Noise Theory, Wavelet Decomposition for Fractional G-Brownian Motion, and Bid-Ask Pricing Application to Finance Under Uncertainty

Wei Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ボラティリティの不確実性下での金融市場の不確実性をモデル化する強固な手法として、分数G・ブラウン運動（fGBm）を導入する。G期待値理論とウェーブレットに基づく分解、および分数G・ホワイトノイズを統合し、分数G・伊藤積分の枠組みを確立し、G-クラーク・オコネの公式を導出する。また、ボラティリティの不確実性下で、割引されたヨーロピアン・クレームの部分線形期待値が、その買付価格に等しいことを証明し、ボラティリティの不確実性下でも堅牢なオプションプライシングのメカニズムを提供する。

ABSTRACT

G-framework is presented by Peng [41] for measure risk under uncertainty. In this paper, we define fractional G-Brownian motion (fGBm). Fractional G-Brownian motion is a centered G-Gaussian process with zero mean and stationary increments in the sense of sub-linearity with Hurst index $H\in (0,1)$. This process has stationary increments, self-similarity, and long rang dependence properties in the sense of sub-linearity. These properties make the fractional G-Brownian motion a suitable driven process in mathematical finance. We construct wavelet decomposition of the fGBm by wavelet with compactly support. We develop fractional G-white noise theory, define G-Itô-Wick stochastic integral, establish the fractional G-Itô formula and the fractional G-Clark-Ocone formula, and derive the G-Girsanov's Theorem. For application the G-white noise theory, we consider the financial market modelled by G-Wick-Itô type of SDE driven by fGBm. The financial asset price modelled by fGBm has volatility uncertainty, using G-Girsanov's Theorem and G-Clark-Ocone Theorem, we derive that sublinear expectation of the discounted European contingent claim is the bid-ask price of the claim.

研究の動機と目的

• ボラティリティの不確実性下での金融資産価格を、部分線形期待値下での分数ブラウン運動の一般化である、新しい確率過程である分数G・ブラウン運動（fGBm）を用いてモデル化すること。
• 分数G・ホワイトノイズ理論を構築し、fGBmに適したG・伊藤＝ウィック確率積分を定義することで、モデル不確実性下での確率積分の枠組みを確立すること。
• fGBmに対して、分数G・伊藤の公式、分数G・クラーク・オコネの公式、G・ギルサノフの定理を確立し、動的ヘッジとプライシングを支援すること。
• 開発された枠組みを応用して、ヨーロピアン・コンテイジェント・クレームの買付価格を、割引されたペイオフの部分線形期待値として導出することにより、ボラティリティの曖昧性下でも堅牢性を確保すること。

提案手法

• 部分線形期待値下で自己同型性、定常増分、長距離相関を持つ中心化されたG・ガウス過程として、分数G・ブラウン運動（fGBm）を定義する。
• コンパクトにサポートされたウェーブレットを用いてfGBmのウェーブレット分解を構築し、プロセスのマルチスケール解析を可能にする。
• G・伊藤＝ウィック確率積分を定義し、fGBm駆動のSDEに対する分数G・伊藤の公式を導出することで、分数G・ホワイトノイズ理論を構築する。
• fGBmの状態における動的ヘッジを可能にするために、割引されたクレームペイオフを確率積分として表現するための分数G・クラーク・オコネの公式を確立する。
• fGBmが新しい部分線形期待値下でもG・ブラウン運動のまま保たれるように、測度変更を可能にするG・ギルサノフの定理を証明する。
• G・クラーク・オコネの公式とG・ギルサノフの定理を用いて、ヨーロピアン・クレームの買付価格が、その割引ペイオフの部分線形期待値に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数ブラウン運動を、部分線形期待値下でG・ガウス過程へと拡張することで、金融の不確実性をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 fGBmに対して、ボラティリティの不確実性下で適切な確率積分の枠組みは何か。また、それが動的ヘッジとオプションプライシングをどのように支援するか？
• RQ3 fGBmに対してG・クラーク・オコネの公式を一般化することは可能か。その場合、コンテイジェント・クレームを確率積分の形で表現できるか？
• RQ4 部分線形期待値が、ボラティリティの不確実性下での買付価格をどのように導くのか？
• RQ5 ウェーブレット分解は、G・ホワイトノイズ理論の文脈において、fGBmの解析と近似に果たす役割は何か？

主な発見

• ヨーロピアン・コンテイジェント・クレームの割引ペイオフの部分線形期待値 $ E^G[e^{-rT}\tilde{\theta}] $ が、ボラティリティの不確実性下での買付価格として特定される。
• クレームの売却価格は $ -E^G[-e^{-rT}\tilde{\theta}] $ で与えられ、これは曖昧性集合内におけるすべての同値測度上の線形期待値の下界に等しい。
• 最適ヘッジ・ポジションは、分数G・クラーク・オコネの公式を用いて導出され、保有ポジション $ v(t) = S(t)^{-1}e^{-r(T-t)}\tilde{E}_{M_H}[D_t^H \tilde{\theta}|\mathcal{F}_t^H] $ が得られ、モデルの曖昧性下でもスーパーヘッジングを保証する。
• fGBmに対してG・伊藤＝ウィック積分と分数G・伊藤の公式が確立され、部分線形期待値下でも一貫した確率積分と伊藤型微積分が可能になる。
• コンパクトにサポートされたウェーブレットを用いてfGBmのウェーブレット分解が構築され、マルチスケール解析とプロセスの数値近似が可能になる。
• fGBmに対してG・ギルサノフの定理が証明され、測度変更によりfGBmが新しい部分線形期待値下でもG・ブラウン運動のまま保たれ、プロセスの構造が保存されることを示した。