[論文レビュー] Fully Hodge-Newton decomposable Shimura varieties

Ulrich Goertz, Xuhua He+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 55被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、組合せ論的条件であるホッジ＝ノートン分解可能性と呼ばれる条件下で、アフィンデュリーヌ＝ルスツィジ・多様体およびラポポルト＝ジンクス空間に対してホッジ＝ノートン分解を確立し、シュバリュア多様体において、基本的局所がEKOR層の和集合として単純に記述可能であるための必要十分条件を示している。その条件は、すべての非基本的ノイザー層が有限であるか、特定の層構造の整合性条件を満たす場合に限る。主な結果は、この性質がパラハオリレベル構造の選び方に依存しないことである。これは、準分裂またはハイパースペシャルな場合に限らない、従来の結果の拡張である。

ABSTRACT

The motivation for this paper is the study of arithmetic properties of Shimura varieties, in particular the Newton stratification of the special fiber of a suitable integral model at a prime with parahoric level structure. This is closely related to the structure of Rapoport-Zink spaces and of affine Deligne-Lusztig varieties. We prove a Hodge-Newton decomposition for affine Deligne-Lusztig varieties and for the special fibres of Rapoport-Zink spaces, relating these spaces to analogous ones defined in terms of Levi subgroups, under a certain condition (Hodge-Newton decomposability) which can be phrased in combinatorial terms. Second, we study the Shimura varieties in which every non-basic $σ$-isogeny class is Hodge-Newton decomposable. We show that (assuming the axioms of \cite{HR}) this condition is equivalent to nice conditions on either the basic locus, or on all the non-basic Newton strata of the Shimura varieties. We also give a complete classification of Shimura varieties satisfying these conditions. While previous results along these lines often have restrictions to hyperspecial (or at least maximal parahoric) level structure, and/or quasi-split underlying group, we handle the cases of arbitrary parahoric level structure, and of possibly non-quasi-split underlying groups. This results in a large number of new cases of Shimura varieties where a simple description of the basic locus can be expected. As a striking consequence of the results, we obtain that this property is independent of the parahoric subgroup chosen as level structure. We expect that our conditions are closely related to the question whether the weakly admissible and admissible loci coincide.

研究の動機と目的

• 任意のパラハオリレベル構造および準分裂でない群へのホッジ＝ノートン分解の一般化。
• 基本的局所がEKOR層の和集合として単純に記述可能なシュバリュア多様体を同定すること。
• この性質がパラハオリ部分群の選び方に依存しないことを示すこと。
• 基本的局所の構造と非基本的ノイザー層の有限性および層構造の挙動との関係を明らかにすること。
• ホッジ＝ノートン分解可能性条件と周期領域における弱アドミッスィブル集合とアドミッスィブル集合の一致との間の関係を確立すること。

提案手法

• コcharactersとパラハオリ部分群に関する組合せ論的条件を用いて、アフィンデュリーヌ＝ルスツィジ多様体およびラポポルト＝ジンクス空間に対する群論的ホッジ＝ノートン分解を構築する。
• ブラウート＝ティッツの建物の構造と群 J_b の作用を用いて、有限体上の多様体の軌道と次元を分析する。
• EKOR層とノイザー層の理論を適用し、シュバリュア多様体の幾何とそのレヴィ部分群および関連多様体との関係を関係づける。
• ループ群と有限体作用の性質を用いて、アフィンデュリーヌ＝ルスツィジ多様体の次元がゼロであることと、J_b-軌道の集合が有限であることの同値性を証明する。
• 非基本的ノイザー層内の葉の有限性と、EKOR層が単一のノイザー層に含まれることの同値性を、写像の可換図式を用いて確立する。
• シュバリュアデータの公理を用いて、EKOR層とノイザー層の交わりがアフィンデュリーヌ＝ルスツィジ多様体の非空性に帰着されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でシュバリュア多様体の基本的局所がEKOR層の和集合として単純に記述可能になるか？
• RQ2 ホッジ＝ノートン分解可能性条件は非基本的ノイザー層の有限性とどのように関係するか？
• RQ3 基本的局所が単純に記述可能であるという性質は、パラハオリレベル構造の選び方に依存しないか？
• RQ4 ホッジ＝ノートン分解可能性条件と周期領域における弱アドミッスィブル集合とアドミッスィブル集合の一致との関係は何か？
• RQ5 ホッジ＝ノートン条件のもとで、レヴィ部分群を用いてアフィンデュリーヌ＝ルスツィジ多様体およびラポポルト＝ジンクス空間の幾何をどのように分解できるか？

主な発見

• ホッジ＝ノートン分解可能性条件が満たされれば、アフィンデュリーヌ＝ルスツィジ多様体およびラポポルト＝ジンクス空間に対してホッジ＝ノートン分解が成立し、この条件は組合せ論的表現で記述される。
• F 上の単純な群 G を持つシュバリュア多様体において、すべての非基本的ノイザー層が有限であること、EKOR層が単一のノイザー層に含まれること、そして基本的局所がEKOR型であることの3条件は、すべて同値である。
• これらの同値条件の成立は、パラハオリ部分群 K の選び方に依存せず、シュバリュアデータ (G, {μ}) のみに依存する。
• アフィンデュリーヌ＝ルスツィジ多様体 X(μ,b)_K の次元がゼロであることは、その k-点上の J_b-軌道の集合が有限であることと同値である。
• X_w(b) の非空性は、EKOR層 EKOR_{K,w} とノイザー層 S_{K,[b]} の交わりが非空であることと同値である。
• EKOR層 EKOR_{K,w} が単一のノイザー層に含まれるための必要十分条件は、そのノイザー層に属するある b に対して、対応するアフィンデュリーヌ＝ルスツィジ多様体 X_w(b) が非空であることである。