[論文レビュー] Functions with isolated singularities on surfaces, II

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|May 18, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな曲面から ℝ または S¹ への滑らかな写像で、孤立した特異点を持つものについて、f-適応部分多様体上で固定される微分同相群の作用における安定化部分群および軌道のホモトピー型を分析することで、先行研究を拡張している。特異点が (B1) および (L1) の公理を満たす場合、安定化部分群および軌道の単位成分は、球面とエイレンバーグ＝マクレイン空間の積とホモトピー同値であり、臨界点集合や等高線集合を含む非自明な適応部分多様体に対しても一般化されている。

ABSTRACT

Let M be a smooth connected compact surface, P be either the real line R^1 or the circle S^1. For a subset X of M denote by D(M,X) the group of diffeomorphisms of M fixed on X. In this note we consider a special class F of smooth maps f:M o P with isolated singularities which includes all Morse maps. For each such map f from F we consider certain submanifolds X of M that are "adopted" with f in a natural sense, and study the right action of the group D(M,X) on C^{\infty}(M,P). The main result describes the homotopy types of the connected components of the stabilizers S(f) and orbits O(f) for all maps f from F. It extends previous author results on this topic.

研究の動機と目的

• 微分同相群が固定部分多様体上で作用する場合の、孤立特異点をもつ滑らかな写像 f:M→P に対する安定化部分群および軌道のホモトピー型に関する先行結果を一般化すること。
• f-適応部分多様体 X⊂M に対して、安定化部分群 S_id(f,X) および軌道 O_f(f,X) の単位パス成分のホモトピー型を同定すること。
• X=∅ および X=Σ_f の場合に限らない、一般の f-適応部分多様体（無限大のものも含む）へのホモトピー型分類を拡張すること。
• 非退化な孤立特異点をもつ曲面写像の文脈において、軌道および安定化部分群空間の位相的構造を理解するための統一的枠組みを確立すること。

提案手法

• 写像 f:M→P の臨界点および等高線と整合する f-適応部分多様体 X⊂M の概念を導入する。
• 微分同相群 D(M,X) および滑らかな写像の空間 C^∞(M,P) に C^∞-位相を導入し、右作用 f↦f∘h を研究する。
• Z₂被覆の上げ上げ技術を用いて、X にメビウスの帯や非可縮約な曲面を含む非可縮約成分を取り扱う。
• リー微分およびフロー写像によるベクトル場構成を用いて、微分同相群の空間内での変形を扱い、被覆の対合作用に関して不変性を保証する。
• F(α)>−1 を満たすベクトル場 F を用いたデフォーメーションリトラクション戦略により、X を固定し f を安定化するホモトピーを構成する。
• 問題を可縮約被覆に還元し、既存の可縮安定化部分群に関する結果を応用することで、元の空間に対するホモトピー同値を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立特異点をもつ滑らかな写像 f:M→P および f-適応部分多様体 X に対して、安定化部分群 S_id(f,X) および軌道 O_f(f,X) の単位パス成分のホモトピー型は何か？
• RQ2 X が非自明な等高線集合や臨界点集合を含む無限大の f-適応部分多様体である場合、安定化部分群および軌道のホモトピー型はどのように変化するか？
• RQ3 X=∅ および X=Σ_f の場合に限らない、一般の f-適応部分多様体への安定化部分群および軌道のホモトピー型分類を拡張できるか？
• RQ4 被覆空間および Z₂-作用は、非可縮約成分 X の上げ上げおよびホモトピーの構成において果たす役割は何か？
• RQ5 公理 (L1) における非退化性条件（例えば単純因子をもつ同次多項式）は、軌道および安定化部分群空間の位相的構造にどのように影響するか？

主な発見

• 安定化部分群 S_id(f,X) の単位成分は、f-適応部分多様体 X の位相的性質および f の特異点の種類に依存する、球面とエイレンバーグ＝マクレイン空間の積とホモトピー同値である。
• 公理 (B1) および (L1) を満たす写像に対して、軌道成分 O_f(f,X) は、曲面の基本群および写像 f のモノドロミーに関連する分類空間とホモトピー同値である。
• X が有限の f-適応部分多様体であるとき、安定化部分群 S_id(f,X) は有限 CW 複体とホモトピー同値であり、そのホモトピー型は f の臨界点の数および種類にのみ依存する。
• 主な結果は、先行研究を一般化している：X=∅ または X=Σ_f の場合、安定化部分群は特定の型（A）〜（D）を除き可縮であるが、一般の f-適応 X に対しては通常可縮ではない。
• ベクトル場および Z₂-被覆による等変な上げ上げの構成により、メビウスの帯やクラインのびんなど、非可縮約成分 X に対してもホモトピー分類を拡張できる。
• 軌道空間のホモトピー型は、等高線集合上のモノドロミー作用および曲面 M の位相に依存し、等高線集合における正則値の選び方に依存しない。