[論文レビュー] Functorial resolution of tame quotient singularities in positive characteristic

Federico Buonerba|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、代数閉体上の擬射影的代数多様体における正標数のタム・商特異点に対して、函手的解消を確立する。重み付き blow-up を用いた不変量に基づく帰納的アプローチと、エタール局所的な函手性を組み合わせることで、問題をタム・巡回商特異点に還元し、さらにグローバルな特性条件を用いて不変量を低下させる。最終的に、エタール基底変換と可換する滑らかで擬射影的な解消が構成される。

ABSTRACT

The object of the present is a proof of the existence of functorial resolution of tame quotient singularities for quasi-projective varieties over algebraically closed fields.

研究の動機と目的

• 擬射影的代数多様体が正標数においてタム・商特異点をもつ場合に、函手的解消の存在を示すこと。
• エタール基底変換と可換性を保証することで、解消における局所的からグローバルへの障害を克服すること。
• グローバル不変量と特性条件を用いて、解消問題をタム・巡回商特異点に還元すること。
• ファイナルな特性条件を用いてトロイダル仮定を弱めることで、トロイダル幾何学の解消技法を正標数へ拡張すること。
• 非タム仮定下ではこの手法が失敗することを示し、一般の場合には根本的に異なる戦略が求められることを示唆すること。

提案手法

• 任意の $ X $ に対して $ i(X) \in \mathbb{N} $ を定義し、$ i(X) = 0 $ となるのは $ X $ が滑らかであるときかつそのときに限ることを保証し、$ i(X) $ を基準に帰納法を用いる。
• 二段階のプロセスを用いる：まず、不変量を保つように、一般のタム・商特異点をタム・巡回商特異点に還元する代数的変形を施す。
• 局所的巡回安定化作用が $ E $ 全体で忠実に作用するような、除集合 $ E $ に対するグローバルな特性条件を導入し、これによりグローバルに定義された代数層の層を構成する。
• 滑らかな中心に沿った重み付き blow-up を、この代数層を用いて実行し、非タム特異点が一時的に出現しても、安定化作用の群が小さくなるように新しい多様体を構成する。
• 非タム巡回特異点は、最大の非タム安定化作用に基づく反復的 blow-up を用いて処理し、除集合上での作用の忠実性を保証することで、タム特異点へと還元する。
• エタール基底変換と可換な函手性を保証するため、反復的かつエタール局所的な手続きにより解消を構成し、引き戻しと可換になるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における擬射影的多様体のタム・商特異点に対して、函手的解消を構成できるか？
• RQ2 トロイダル埋め込みやグローバルなトーラス作用を仮定しない場合、解消における局所的からグローバルへの問題をどのように克服できるか？
• RQ3 局所的安定化作用にグローバルに定義された特性が、グローバルな解消手続きを可能にする役割は何か？
• RQ4 忠実な特性条件が満たされていれば、非タム特異点を一時的に生じさせても、重み付き blow-up が正標数において有効に機能するか？
• RQ5 非タム群作用下ではなぜこの手法が失敗するのか、そしてこれは一般の商特異点の解消にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 主定理により、滑らかで擬射影的である $ M(X) $ と、$ M(X) \to X $ が固有かつ双有理的かつ相対的射影的であるような解消函手 $ X \to (M(X), r_X) $ の存在が保証される。さらに、$ r_X $ は $ X $ の滑らか部分に沿って同型である。
• 解消函手はエタール基底変換と可換であり、代数空間、ディリクレ＝ムーディー スタック、解析的空間などとの整合性を保証する。
• 第一段階では、エタール局所的函手性を用いて、任意のタム・商特異点を不変量を保ちつつタム・巡回商特異点に還元する。
• 第二段階では、除集合上での忠実な特性から誘導される代数層によって定義される滑らかな中心に沿った重み付き blow-up を構成し、一時的に非タム特異点が出現しても不変量を低下させる。
• 重要な補題（II.II.1）は、非タム対角的巡回特異点が出現した場合、最大の非タム安定化作用に基づく反復的 blow-up を用いれば、除集合上での作用の忠実性が保証されれば、それらを解消できることを示している。
• 非タム作用下では、群作用を対角化する正則パラメータが存在しないため、この手法は失敗する。これは、一般の場合には根本的に異なる戦略が必要であることを示唆している。